物質の側：エネルギー運動量テンソルと保存則

相対論入門　第11章 §11.1　★★★ 特殊相対論の $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ は、曲がった時空では $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ になる。ダストの場合、この式だけから測地線の方程式が出る

第8章から第10章までで、曲がった時空を記述する幾何の道具をそろえた。第8章では計量 $g_{\mu\nu}$ と Christoffel 記号と共変微分 $\nabla_\mu$ を作り、第9章では自由落下する粒子が測地線

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\rho}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x^\nu}{d \tau}=0$$

を進むこと、遅い粒子と弱い静的な場では $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ が Newton のポテンシャル $\Phi$ の役をすることを見た。第10章では次の3つの曲率の量を定義し、潮汐力が曲率で表されることを示した。

$$\text{Riemann テンソル } R^\rho{}_{\sigma\mu\nu},\qquad \text{Ricci テンソル } R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu},\qquad \text{スカラー曲率 } R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$$

ここまでの議論には、計量そのものを決める方程式が欠けている。Newton の重力理論では、粒子の運動方程式 $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ と、ポテンシャルを質量密度から決める Poisson 方程式

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho\tag{11.1}$$

の2つがそろって1つの理論になる。第9章の測地線の方程式は前者の一般化であり、この章で作る Einstein 方程式は後者の一般化である。

章の流れは次のとおりである。

• §11.1 では、方程式の右辺に入る物質の側を整える。第6章 §6.3・§6.4 で作ったエネルギー運動量テンソルを曲がった時空へ移し、その保存則が $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ になることと、そこからダストの測地線運動と静水圧の釣り合いが出ることを示す。
• §11.2 では、左辺に置く幾何の量の形を、保存則との整合と Newton 極限から決め、係数が $8\pi G/c^4$ になることを導く。
• §11.3 では、同じ条件のもとで唯一付け加えることのできる宇宙定数の項を調べる。
• §11.4 では、電磁場を曲がった時空へ移し、電荷の保存が方程式から自動的に出ることを確かめる。

作用原理（Einstein–Hilbert 作用）から同じ方程式を導く道は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第15章にある。

特殊相対論の式を曲がった時空へ移す規則

第8章では、時空の任意の点 $p$ のまわりで

$$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu},\qquad \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)=0$$

となる座標（局所慣性系）がとれることを示した（§8.2 の局所平坦性の定理と §8.3 の座標の作り方）。Einstein の等価原理（第7章 §7.2）によれば、この座標の中では、点 $p$ での物理法則は特殊相対論の形で書ける。

局所慣性系の点 $p$ では、共変微分と偏微分が一致し、計量も平らな時空のものと一致する。そこで、特殊相対論の法則の中で次の置き換えをする。

$$\partial_\mu\ \to\ \nabla_\mu,\qquad \eta_{\mu\nu}\ \to\ g_{\mu\nu}$$

置き換えた式は、

1. 局所慣性系の点 $p$ では、もとの特殊相対論の式と同じであり、
2. 両辺がテンソルなので、第8章の定理（テンソルの成分が1つの座標で 0 ならすべての座標で 0）により、ほかのどの座標でも成り立つ。

この置き換えの規則を最小結合と呼ぶ。重力は $g_{\mu\nu}$ と $\Gamma$ を通してだけ式に入り、曲率を直接含む項は足さない。この規則が一意でない場合があることは §11.4 の落とし穴の箱で述べる。

ダストと完全流体

第6章 §6.4 では、ダスト（圧力の無い物質）と完全流体のエネルギー運動量テンソルを作った。記号は、静止系の質量密度を $\rho$、圧力を $P$ とする。4元速度は $u^\mu$ と書く。最小結合で $\eta^{\mu\nu}$ を $g^{\mu\nu}$ に替えると

$$T^{\mu\nu}_{\mathrm{dust}}=\rho\,u^\mu u^\nu,\qquad T^{\mu\nu}=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)u^\mu u^\nu-P\,g^{\mu\nu}\tag{11.2}$$

となる。4元速度の規格化は $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=c^2$ である。添字を下げた $T_{\mu\nu}=g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}T^{\alpha\beta}$ と、トレース

$$T\equiv g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^2-4P=\rho c^2-3P\tag{11.3}$$

も、第6章と同じ形である（$g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=\delta^\mu{}_\mu=4$ を使った）。この章では、添字の無い $T$ をいつもエネルギー運動量テンソルのトレースの意味で使う。

保存則 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$

第6章 §6.3 で示したように、外から力を受けない物質（あるいは物質と電磁場の全体）のエネルギー運動量テンソルは、特殊相対論で $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を満たす。最小結合で

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\tag{11.4}$$

とする。左辺を書き下すと、第8章 §8.3 の共変微分の規則（上付きの添字1つごとに $+\Gamma$ の項が1つ付く）から

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=\partial_\mu T^{\mu\nu}+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}T^{\lambda\nu}+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}\tag{11.5}$$

である。第8章で導いた $\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}=\partial_\lambda\ln\sqrt{-g}$（$g=\det g_{\mu\nu}<0$）を使うと、最初の2項は1つにまとまり

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu\bigl(\sqrt{-g}\,T^{\mu\nu}\bigr)+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}\tag{11.6}$$

となる。実際、右辺の第1項を積の微分で開くと $\partial_\mu T^{\mu\nu}+(\partial_\mu\ln\sqrt{-g})T^{\mu\nu}$ で、(11.5) の最初の2項と一致する。

(11.6) の最後の項 $\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}$ は、一般には消えない。$\Gamma$ が下の2つの添字で対称であり、$T^{\mu\lambda}$ も対称だからである。このため (11.4) は「ある量の4元発散が0」という形にならず、空間で積分しても時間によらない全エネルギーを作ることができない。

この最後の項は、物質が重力の場とエネルギーと運動量をやりとりしていることを表している。たとえば膨張する宇宙では、光子の集団のエネルギーは膨張とともに減り続ける（確認テスト 11.1-4）。

それでも、時空に対称性があれば積分した保存量を作ることができる。$\xi^\mu$ を Killing ベクトル（第9章 §9.3）とする。すなわち

$$\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu=0$$

である。このときベクトル $J^\mu=T^{\mu\nu}\xi_\nu$ は $\nabla_\mu J^\mu=0$ を満たす（確認テスト 11.1-5）。ベクトルの発散には (11.6) の最後の項に当たるものが無いので

$$\partial_\mu\bigl(\sqrt{-g}\,J^\mu\bigr)=0\tag{11.7}$$

となる。これを空間で積分すれば、$\int\sqrt{-g}\,J^0\mathrm{d}^3x$ が時間によらないことが分かる。計量が時刻によらない静的な時空では $\xi=\partial_0$ が Killing ベクトルで、これがエネルギーの保存になる。

ダストの保存則は測地線の方程式を含む

保存則 (11.4) は、物質の運動について多くのことを含んでいる。ダスト $T^{\mu\nu}=\rho u^\mu u^\nu$ で調べる。積の微分で

$$0=\nabla_\mu(\rho u^\mu u^\nu)=\bigl[\nabla_\mu(\rho u^\mu)\bigr]u^\nu+\rho\,u^\mu\nabla_\mu u^\nu\tag{11.8}$$

である。規格化 $g_{\nu\lambda}u^\nu u^\lambda=c^2$ を共変微分する。$\nabla g=0$ なので

$$2u_\nu\nabla_\mu u^\nu=0$$

になる。そこで (11.8) に $u_\nu$ を掛けて縮約する。

• 第2項は、上の式から $\rho u^\mu u_\nu\nabla_\mu u^\nu=0$ になる。
• 第1項は、$u_\nu u^\nu=c^2$ なので $c^2\nabla_\mu(\rho u^\mu)$ になる。

したがって

$$\nabla_\mu(\rho u^\mu)=0\tag{11.9}$$

を得る。これを (11.8) に戻すと、$\rho\ne0$ の所で

$$u^\mu\nabla_\mu u^\nu=0\tag{11.10}$$

が残る。(11.9) は質量の保存（連続の式）である。(11.10) を成分で書くと、$u^\mu\partial_\mu=\mathrm{d}/\mathrm{d}\tau$（ダストの粒子の世界線に沿った微分）なので

$$u^\mu\nabla_\mu u^\nu=u^\mu\partial_\mu u^\nu+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}u^\mu u^\lambda=\frac{\mathrm{d}^2x^\nu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x^\lambda}{d \tau}=0$$

となり、第9章の測地線の方程式そのものである。

静的な時空での静水圧の釣り合い

圧力のある完全流体が、静的な重力の場の中で静止しているときの釣り合いを調べる。計量は時刻によらず、$g_{0i}=0$ とする（第9章 §9.2 の仮定 (ii) と同じ）。流体が静止しているので $u^i=0$ であり、規格化と添字の下げ方から

$$u^0=\frac{c}{\sqrt{g_{00}}},\qquad u_0=g_{00}u^0=c\sqrt{g_{00}},\qquad u^0u_0=c^2$$

である。計算には、上下1つずつの添字を持つ形

$$T^\mu{}_\nu=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)u^\mu u_\nu-P\,\delta^\mu{}_\nu$$

が便利である。上付き1つ・下付き1つの共変微分は

$$\nabla_\mu T^\mu{}_\nu=\partial_\mu T^\mu{}_\nu+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}T^\lambda{}_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}T^\mu{}_\lambda$$

である。空間成分 $\nu=i$ を順に計算する。$u_i=0$ なので $T^\mu{}_i=-P\,\delta^\mu{}_i$ であり、

• 第1項は $\partial_\mu T^\mu{}_i=-\partial_iP$、
• 第2項は $\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}T^\lambda{}_i=-P\,\Gamma^\mu{}_{\mu i}$、
• 第3項は

$$\begin{aligned}-\Gamma^\lambda{}_{\mu i}T^\mu{}_\lambda &=-\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)\Gamma^\lambda{}_{0i}u^0u_\lambda+P\,\Gamma^\mu{}_{\mu i}\\ &=-\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^2\,\Gamma^0{}_{0i}+P\,\Gamma^\mu{}_{\mu i}\end{aligned}$$

となる。第3項では、$u^\mu$ のうち $u^0$ だけが残ることを使った。$u_\lambda$ のうちでも $u_0$ だけが残る。$P\,\Gamma^\mu{}_{\mu i}$ の項は打ち消し合う。静的な計量では $\Gamma^0{}_{0i}=\frac12g^{00}\partial_ig_{00}=\partial_i\ln\sqrt{g_{00}}$ なので、$\nabla_\mu T^\mu{}_i=0$ は

$$\partial_iP=-\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^2\,\partial_i\ln\sqrt{g_{00}}\tag{11.11}$$

となる。これが一般相対論の静水圧の釣り合いの式である。弱い場 $g_{00}\simeq1+2\Phi/c^2$ では $c^2\partial_i\ln\sqrt{g_{00}}\simeq\partial_i\Phi$ なので

$$\nabla P\simeq-\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)\nabla\Phi\tag{11.12}$$

を得る。$P/c^2\ll\rho$ なら、Newton 力学の静水圧の式 $\nabla P=-\rho\nabla\Phi$ に戻る。

(11.12) の右辺で、重力を受ける量が $\rho$ でなく $\rho+P/c^2$ になっている。圧力もエネルギーの流れ（運動量の流れ）を持つので、圧力自身も重さを持つ。この補正は中性子星のように $P$ が $\rho c^2$ に近づく天体で大きくなり、圧力を上げても重力に逆らえなくなる理由の1つになる。

確認テスト

オリジナル

1. 11.1-1 曲がった時空で、物質の保存則を $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ と書くことができない理由を述べよ。
2. 11.1-2 完全流体 (11.2) について、$T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=\rho c^4$ と $T=\rho c^2-3P$ を示せ。放射（$P=\rho c^2/3$）でトレースがいくらになるかも答えよ。
3. 11.1-3 次の計量を考える（$x^0=ct$、$\dot a=\mathrm{d} a/\mathrm{d} t$）。

$$\mathrm{d} s^2=c^2\mathrm{d} t^2-a(t)^2(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2)$$

この計量の0でない Christoffel 記号が

$$\Gamma^0{}_{ij}=\frac{a\dot a}{c}\,\delta_{ij},\qquad \Gamma^i{}_{0j}=\Gamma^i{}_{j0}=\frac{\dot a}{ca}\,\delta^i{}_j$$

であることを確かめよ。さらに、この時空で静止したダスト（$u^\mu=(c,0,0,0)$）を考える。保存則 $\nabla_\mu T^{\mu0}=0$ から、$\rho a^3$ が一定であることを導け。4. 11.1-4 確認テスト 11.1-3 と同じ時空で、静止した完全流体について $\nabla_\mu T^{\mu0}=0$ が

$$\dot\rho+3\frac{\dot a}{a}\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)=0$$

となることを示せ。放射（$P=\rho c^2/3$）について、次の2つを示せ。

1. (i) 密度は $\rho\propto a^{-4}$ となる。
2. (ii) 体積 $a^3$ の箱の中の放射のエネルギーは $a^{-1}$ に比例して減る。
3. 11.1-5 $T^{\mu\nu}$ が対称で $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ を満たすとする。$\xi^\mu$ が Killing ベクトルなら、$J^\mu=T^{\mu\nu}\xi_\nu$ の発散が 0 になることを示せ。