曲がった時空の電磁場

相対論入門　第11章 §11.4　★★ 最小結合で Maxwell 方程式を移すと、斉次の方程式は計量を含まず、非斉次の方程式は $\sqrt{-g}$ を使った発散の形になる。電荷の保存は方程式から自動的に出る

電磁場テンソルと斉次の方程式

第6章 §6.1 では、平らな時空の電磁場を4元ポテンシャル $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ と電磁場テンソル

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$

で表し、Maxwell 方程式を $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ と Bianchi 恒等式 $\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$ の2組に書いた（導出は『電磁気学入門』第10章）。最小結合で $\partial\to\nabla$ と置き換える。まず電磁場テンソルは

$$F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu=\bigl(\partial_\mu A_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}A_\lambda\bigr)-\bigl(\partial_\nu A_\mu-\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}A_\lambda\bigr)=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{11.32}$$

となる。Christoffel 記号は下の2つの添字で対称なので、$\Gamma$ の項は打ち消し合う。電磁場テンソルの定義は計量を含まない。第8章の確認テスト 8.1-4 で示したように、$\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ は一般の座標変換でもテンソルとして変換するので、この式は座標によらない。

斉次の方程式も同じ理由で変わらない。$\nabla_\lambda F_{\mu\nu}=\partial_\lambda F_{\mu\nu}-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}F_{\kappa\nu}-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}F_{\mu\kappa}$ を巡回的に3つ足すと、$\Gamma$ の項は対称な添字の組ごとに打ち消し合い（確認テスト 11.4-1）、

$$\nabla_\lambda F_{\mu\nu}+\nabla_\mu F_{\nu\lambda}+\nabla_\nu F_{\lambda\mu}=\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0\tag{11.33}$$

となる。最後の等号は、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ を代入すれば偏微分の順序の入れ替えで恒等的に成り立つ。磁気単極子が無いことと Faraday の法則を表す斉次の方程式は、曲がった時空でも計量を含まない。

非斉次の方程式 $\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$

Gauss の法則と Ampère–Maxwell の法則を表す非斉次の方程式は、最小結合で

$$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu\tag{11.34}$$

となる。ここで $F^{\mu\nu}=g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}F_{\alpha\beta}$ で、添字の上げ下げに計量が入る。電磁場が計量と出会うのはこの式だけである。左辺を書き下すと、(11.5) と同じく

$$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\partial_\mu F^{\mu\nu}+\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}F^{\lambda\nu}+\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}F^{\mu\lambda}$$

である。ただし今度は、最後の項が 0 になる。

• $\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}$ は下の2つの添字について対称である。
• $F^{\mu\lambda}$ は反対称である。

したがって和をとると、2つの添字を入れ替えた項どうしが打ち消し合う。残る2項を $\Gamma^\mu{}_{\mu\lambda}=\partial_\lambda\ln\sqrt{-g}$ でまとめると

$$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\,\partial_\mu\bigl(\sqrt{-g}\,F^{\mu\nu}\bigr)\tag{11.35}$$

を得る。したがって (11.34) は

$$\partial_\mu\bigl(\sqrt{-g}\,F^{\mu\nu}\bigr)=\mu_0\sqrt{-g}\,J^\nu\tag{11.36}$$

と、偏微分だけで書ける。Christoffel 記号を計算しなくてよいので、実際の計算ではこの形が便利である。

電荷の保存が自動で出ること

平らな時空では、Maxwell 方程式が電荷の保存 $\partial_\nu J^\nu=0$ を含んでいた（第6章 §6.1）。対称な $\partial_\nu\partial_\mu$ と反対称な $F^{\mu\nu}$ の縮約が 0 になるからである。曲がった時空でも同じことが成り立つ。(11.36) の両辺を $x^\nu$ で偏微分する。

• 偏微分の順序は入れ替えられるので、$\partial_\nu\partial_\mu$ は2つの添字について対称である。
• $\sqrt{-g}F^{\mu\nu}$ は反対称である。

したがって左辺は

$$\partial_\nu\partial_\mu\bigl(\sqrt{-g}\,F^{\mu\nu}\bigr)=0$$

となる。したがって

$$\partial_\nu\bigl(\sqrt{-g}\,J^\nu\bigr)=0,\qquad\text{すなわち}\qquad \nabla_\nu J^\nu=0\tag{11.37}$$

を得る（第8章のベクトルの発散の公式 $\nabla_\nu J^\nu=(1/\sqrt{-g})\partial_\nu(\sqrt{-g}J^\nu)$ を使った）。電荷の保存は、別に仮定しなくても場の方程式から出てくる。

(11.37) は偏微分の発散の形なので、空間で積分すると全電荷

$$Q=\frac1c\int\sqrt{-g}\,J^0\,\mathrm{d}^3x\tag{11.38}$$

が時間によらないことが分かる（境界で電流が 0 とする）。この節では電荷密度を、質量密度 $\rho$ と区別して $\rho_{\mathrm e}$ と書く。平らな時空の直交座標では $\sqrt{-g}=1$、$J^0=c\rho_{\mathrm e}$ なので、全電荷は通常の形

$$Q=\int\rho_{\mathrm e}\,\mathrm{d}^3x$$

に戻る。

この結果は、曲率の言葉でも確かめられる。共変微分は一般に交換しないが、$F^{\mu\nu}$ の反対称性から

$$\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\mu\nu}=\frac12\bigl[\nabla_\nu,\nabla_\mu\bigr]F^{\mu\nu}$$

であり、第10章の交換子の式を2つの上付き添字に1回ずつ使うと、右辺は Ricci テンソル（対称）と $F$（反対称）の縮約になって 0 になる（確認テスト 11.4-4）。

運動方程式とエネルギー運動量テンソル

第6章 §6.2・§6.3 の残りの式も、最小結合で移す。電荷 $q$、質量 $m$ の粒子の運動方程式と、電磁場のエネルギー運動量テンソルは

$$m\,u^\mu\nabla_\mu u^\nu=q\,F^{\nu\lambda}u_\lambda,\qquad T^{\mu\nu}_{\mathrm{em}}=\frac1{\mu_0}\Bigl(F^{\mu\alpha}F_\alpha{}^{\nu}+\frac14g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\Bigr)\tag{11.39}$$

となる。左の式は $q=0$ で測地線の方程式に戻る。右の $T^{\mu\nu}_{\mathrm{em}}$ は、第6章の定理 $\partial_\mu T^{\mu\nu}_{\mathrm{em}}=-F^\nu{}_\lambda J^\lambda$ と同じく

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu}_{\mathrm{em}}=-F^\nu{}_\lambda J^\lambda$$

を満たす。局所慣性系の点では第6章の計算がそのまま使え、両辺がテンソルなので全部の座標で成り立つ。荷電したダストの $T^{\mu\nu}$ と合わせた全体は

$$\nabla_\mu\bigl(T^{\mu\nu}_{\mathrm{dust}}+T^{\mu\nu}_{\mathrm{em}}\bigr)=0$$

を満たし、Einstein 方程式の右辺に置くことができる。電磁場のエネルギーも重力の源になる。真空中の電磁場では $T_{\mathrm{em}}=0$（第6章 §6.3）なので、(11.18) からスカラー曲率は $R=0$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 11.4-1 $\nabla_\lambda F_{\mu\nu}+\nabla_\mu F_{\nu\lambda}+\nabla_\nu F_{\lambda\mu}$ を Christoffel 記号で書き下し、$\Gamma$ の項がすべて打ち消し合うことを示せ。

2. 11.4-2 確認テスト 11.1-3 の膨張する時空で、空間座標に対して静止した電荷の流れ $J^\mu=(c\rho_{\mathrm e},0,0,0)$ を考える。$\nabla_\mu J^\mu=0$ から、$\rho_{\mathrm e}a^3$ が一定であることを導き、その意味を述べよ。

3. 11.4-3 例題 11.5 で $A=1-r_{\mathrm s}/r$、$B=1/A$ とする（第12章の Schwarzschild 計量。$r_{\mathrm s}$ は定数）。$A_r=0$ の静的な場では $F_{r0}=\partial_rA_0$ である。

   1. (i) これから $A_0$ を求めよ（無限遠で $A_0\to0$）。
   2. (ii) 電位 $\phi=cA_0$ が平らな時空の Coulomb ポテンシャル $Q/(4\pi\varepsilon_0r)$ と同じ形になることを示せ。

4. 11.4-4 交換子の式 $[\nabla_\rho,\nabla_\sigma]F^{\mu\nu}=R^\mu{}_{\lambda\rho\sigma}F^{\lambda\nu}+R^\nu{}_{\lambda\rho\sigma}F^{\mu\lambda}$ を使って、$\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\mu\nu}=0$ を示せ。