この章のまとめ

相対論入門　第11章 §11.5

この章では、計量を決める方程式を、物質の側と幾何の側の両方から組み立てた。物質の側では、第6章のエネルギー運動量テンソルを最小結合で曲がった時空へ移し、保存則を $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ とした。この式は $\Gamma^\nu{}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda}$ の項を含むので一般には積分した保存量にならないが、Killing ベクトルがあれば保存量が作れる。ダストではこの保存則が質量の保存と測地線の方程式に分かれ、静止した完全流体では静水圧の釣り合い (11.11) が得られ、圧力も重さを持つことが分かった。

幾何の側では、対称で、2階微分について1次で、発散が恒等的に 0 で、平らな時空で 0 になるテンソルを探した。縮約した Bianchi 恒等式から、Einstein テンソル $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}R$ が選ばれることを示した。係数は、Newton 極限の $R_{00}\simeq\nabla^2\Phi/c^2$ を Poisson 方程式と比べて決めた。こうして Einstein 方程式

$$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}$$

を得た。トレースを反転した形からは、次の3つが出た。

• 真空では $R_{\mu\nu}=0$ になる。
• 静止した流体では $\rho+3P/c^2$ が重力の源になる。
• 弱い場の空間成分は $\Psi=\Phi$ となる。

宇宙定数 $\Lambda$ は、発散が 0 の条件を保つ唯一の追加の項である。密度 $\rho_\Lambda=\Lambda c^2/(8\pi G)$、圧力 $-\rho_\Lambda c^2$ の真空のエネルギーと同じ働きをし、Newton 極限では距離に比例する斥力になる。電磁場は、最小結合で $F_{\mu\nu}$ と斉次の方程式が計量を含まず、非斉次の方程式が $\partial_\mu(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})=\mu_0\sqrt{-g}J^\nu$ の形になり、電荷の保存は方程式から自動的に出る。

第12章では、真空の方程式 $R_{\mu\nu}=0$ を球対称の場合に解いて Schwarzschild 解を求め、例題 11.3 の $\Psi=\Phi$ が光の曲がりの角を2倍にすることを確かめる。第13章では、Einstein 方程式を平らな時空のまわりで線形化して重力波の方程式を作る。第14章では、確認テスト 11.1-4 の流体の式と Einstein 方程式を一様等方な宇宙に当てはめ、Friedmann 方程式を導く。