確認テストの解答

相対論入門　第11章 §11.6

1. 11.1-1 $\partial_\mu T^{\mu\nu}$ はテンソルではない。一般の座標変換で $T^{\mu\nu}$ を微分すると、Jacobi 行列の微分を含む余分な項が出る（第8章 §8.1 でベクトルの偏微分について示したのと同じ事情）。そのため $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ がある座標で成り立っても、別の座標では成り立たず、物理法則として座標の選び方に依存してしまう。局所慣性系の点では偏微分と共変微分が一致する。その上でテンソルの式として正しく書いたものが $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ である。
2. 11.1-2 $u_\mu u^\mu=c^2$ と $g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=c^2$ を使う。

$$T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)(u_\mu u^\mu)(u_\nu u^\nu)-P\,g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^4-Pc^2=\rho c^4 .$$

トレースは $T=g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}=(\rho+P/c^2)c^2-P\,\delta^\mu{}_\mu=\rho c^2+P-4P=\rho c^2-3P$。放射では $T=\rho c^2-3\cdot\rho c^2/3=0$ である。3. 11.1-3 計量は $g_{00}=1$、$g_{ij}=-a^2\delta_{ij}$ である。$a$ は $x^0=ct$ だけの関数なので

$$\partial_0g_{ij}=-\frac{2a\dot a}{c}\,\delta_{ij}$$

である。Christoffel 記号の式から

$$\Gamma^0{}_{ij}=-\frac12g^{00}\partial_0g_{ij}=\frac{a\dot a}{c}\delta_{ij},\qquad \Gamma^i{}_{0j}=\frac12g^{ik}\partial_0g_{kj}=\frac12\Bigl(-\frac{\delta_{ik}}{a^2}\Bigr)\Bigl(-\frac{2a\dot a}{c}\delta_{kj}\Bigr)=\frac{\dot a}{ca}\delta^i{}_j .$$

残りの組

$$\Gamma^0{}_{00},\qquad \Gamma^0{}_{0i},\qquad \Gamma^i{}_{00},\qquad \Gamma^i{}_{jk}$$

は 0 である。$g_{00}$ が定数で、$g_{ij}$ が空間座標によらないからである。

ダストでは $T^{00}=\rho c^2$ で、ほかの成分は 0 である。また $\Gamma^\mu{}_{\mu0}=\sum_i\Gamma^i{}_{i0}=3\dot a/(ca)$ である。したがって (11.5) の $\nu=0$ 成分は

$$\nabla_\mu T^{\mu0}=\partial_0T^{00}+\Gamma^\mu{}_{\mu0}T^{00}+\Gamma^0{}_{00}T^{00}=\frac1c\frac{d (\rho c^2)}{d t}+3\frac{\dot a}{ca}\rho c^2=c\Bigl(\dot\rho+3\frac{\dot a}{a}\rho\Bigr)=0$$

である。$\dot\rho/\rho=-3\dot a/a$ を積分して

$$\ln\rho=-3\ln a+\text{一定},\qquad\text{すなわち}\qquad \rho a^3=\text{一定}$$

である。空間座標の立方体の物理的な体積は $a^3$ に比例するので、中の質量が一定であることを表している。4. 11.1-4 静止した完全流体では $u^\mu=(c,0,0,0)$ で、

$$T^{00}=\Bigl(\rho+\frac{P}{c^2}\Bigr)c^2-P=\rho c^2,\qquad T^{0i}=0,\qquad T^{ij}=-Pg^{ij}=\frac{P\delta_{ij}}{a^2}$$

である。$\nu=0$ 成分は

$$\nabla_\mu T^{\mu0}=\partial_0T^{00}+\Gamma^\mu{}_{\mu0}T^{00}+\Gamma^0{}_{ij}T^{ij} =c\dot\rho+\frac{3\dot a}{ca}\rho c^2+\sum_{i}\frac{a\dot a}{c}\cdot\frac{P}{a^2} =c\dot\rho+\frac{3\dot a}{a}\rho c+\frac{3\dot a}{ca}P .$$

$c$ で割ると、示すべき式 $\dot\rho+3(\dot a/a)(\rho+P/c^2)=0$ を得る。

放射では $\rho+P/c^2=\frac43\rho$ なので、

$$\frac{\dot\rho}{\rho}=-4\,\frac{\dot a}{a}$$

である。積分して $\rho\propto a^{-4}$ を得る。体積 $a^3$ の中のエネルギーは $\rho c^2a^3\propto a^{-1}$ で、膨張とともに減る。1個の光子の波長が $a$ に比例して伸び、エネルギーが $a^{-1}$ に比例して下がることに対応している（第14章 §14.3）。

これは、$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ から積分した保存量が作れない例で、膨張する時空には時間の並進の Killing ベクトルが無い。5. 11.1-5 積の微分で $\nabla_\mu J^\mu=(\nabla_\mu T^{\mu\nu})\xi_\nu+T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu$。第1項は保存則で 0。第2項は $T^{\mu\nu}$ が対称なので、$\nabla_\mu\xi_\nu$ の対称な部分だけが残る：

$$T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=\frac12T^{\mu\nu}\bigl(\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu\bigr) .$$

Killing 方程式により括弧の中は 0 なので、$\nabla_\mu J^\mu=0$ である。6. 11.2-1 (11.17) に $g^{\mu\nu}$ を掛けて縮約する。$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R$、$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$ なので

$$R-2R=\kappa T,\qquad\text{すなわち}\qquad R=-\kappa T$$

である。次に (11.17) を書き直して $R=-\kappa T$ を入れると

$$R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}+\frac12g_{\mu\nu}R=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}T\Bigr)$$

を得る。真空については、向きごとに分けて確かめる。

• $T_{\mu\nu}=0$ ならトレースも 0 なので $R=0$ である。さらに $R_{\mu\nu}=0$ である。
• 逆に $R_{\mu\nu}=0$ ならスカラー曲率も 0 なので、$G_{\mu\nu}=0$ となる。

したがって2つの形は同値である。7. 11.2-2 $4\pi G\rho/c^2=4\pi\times6.674\times10^{-11}\times2.3\times10^{17}/8.988\times10^{16}=2.15\times10^{-9}\,\mathrm{m^{-2}}$ なので $L=2.16\times10^4\,\mathrm m\approx22\,\mathrm{km}$。中性子星の半径と同じ大きさの程度である。例題 11.2 (c) の関係

$$\frac{\left\vert \Phi\right\vert }{c^2}\sim\frac13\Bigl(\frac{R}{L}\Bigr)^2$$

によれば、$R\sim L$ の天体では $\left\vert \Phi\right\vert /c^2$ が 0.1 の程度になり、弱い場の近似が使えない。中性子星の構造を調べるには、Einstein 方程式を近似せずに解く必要がある。8. 11.2-3 $R_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ の発散をとる。

• 左辺は、縮約した Bianchi 恒等式から $\nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac12\partial_\nu R$ になる。
• 右辺は保存則で 0 になる。

よって $\partial_\nu R=0$ である。一方、方程式を縮約すると $R=\kappa T$ なので $\partial_\nu T=0$ となる。すなわち $T$ は時空のどこでも一定でなければならない。

ところが、星の外の真空では $T=0$ である。星の中では、ふつうの物質なら $T=\rho c^2-3P>0$ である。したがって星の表面で $T$ が変わり、矛盾する。この方程式は、物質のある所と無い所を同時に記述することができない。9. 11.2-4 静止した完全流体では

$$u_\mu\simeq(c,\bm{0}),\qquad T_{00}\simeq\rho c^2,\qquad T\simeq\rho c^2-3P$$

である。00 成分は

$$R_{00}\simeq\kappa\Bigl(\rho c^2-\frac12(\rho c^2-3P)\Bigr)=\frac{\kappa}{2}\bigl(\rho c^2+3P\bigr).$$

左辺は $\nabla^2\Phi/c^2$ である。$\kappa c^4/2=4\pi G$ を使うと

$$\nabla^2\Phi=\frac{\kappa c^2}{2}(\rho c^2+3P)=4\pi G\Bigl(\rho+\frac{3P}{c^2}\Bigr)$$

を得る。放射では $\rho+3P/c^2=2\rho$ なので、同じ $\rho$ のダストの2倍の重力を作る。10. 11.3-1 $\nabla g=0$ なので $\nabla^\mu(\Lambda g_{\mu\nu})=0$ である。宇宙項を加えても、左辺の発散は恒等的に 0 のままである。11. 11.3-2 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho-\Lambda c^2=0$ から $\Lambda=4\pi G\rho/c^2$。これを (11.26) に入れると

$$\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G}=\frac{\rho}{2},\qquad\text{すなわち}\qquad \rho=2\rho_\Lambda$$

である。例題 11.4 の値では $\rho=2\times6.4\times10^{-27}=1.29\times10^{-26}\,\mathrm{kg/m^3}$ である。

$\rho$ が少し大きい所では $\nabla^2\Phi>0$ で引力がまさり、物質はさらに集まって密度が上がる。少し小さい所では斥力がまさって広がり、密度がさらに下がる。どちらも釣り合いから離れる向きなので、この釣り合いは不安定である。Einstein が1917年に考えた静的な宇宙は、この不安定さを持っている。12. 11.3-3 $GM=6.674\times10^{-11}\times2.0\times10^{12}\times1.989\times10^{30}=2.65\times10^{32}\,\mathrm{m^3/s^2}$。$\Lambda c^2=1.08\times10^{-35}\,\mathrm{s^{-2}}$ なので

$$r_\Lambda=\Bigl(\frac{3\times2.65\times10^{32}}{1.08\times10^{-35}}\Bigr)^{1/3}=(7.37\times10^{67})^{1/3}=4.19\times10^{22}\,\mathrm m=1.4\,\mathrm{Mpc}.$$

銀河の集まりの大きさ（Mpc の程度）で、宇宙定数の斥力が引力と同じ大きさになる。13. 11.3-4 $T_{\mu\nu}=0$ で (11.25) を縮約すると $R-2R-4\Lambda=0$ である。すなわち $R=-4\Lambda$。これを入れて

$$R_{\mu\nu}=\frac12g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=-2\Lambda g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=-\Lambda g_{\mu\nu}$$

を得る。(11.27) で $T=0$ とおいても同じ結果になる。Ricci テンソルが計量に比例するこの時空は、第14章の de Sitter 宇宙につながる。14. 11.4-1 共変テンソルの共変微分は添字ごとに $-\Gamma$ の項が付くので

$$\nabla_\lambda F_{\mu\nu}=\partial_\lambda F_{\mu\nu}-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}F_{\kappa\nu}-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}F_{\mu\kappa}.$$

巡回的に $(\lambda\mu\nu)\to(\mu\nu\lambda)\to(\nu\lambda\mu)$ と入れ替えた3つを足すと、$\Gamma$ の項は

$$-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}F_{\kappa\nu}-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}F_{\mu\kappa} -\Gamma^\kappa{}_{\mu\nu}F_{\kappa\lambda}-\Gamma^\kappa{}_{\mu\lambda}F_{\nu\kappa} -\Gamma^\kappa{}_{\nu\lambda}F_{\kappa\mu}-\Gamma^\kappa{}_{\nu\mu}F_{\lambda\kappa}$$

の6つである。$\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}=\Gamma^\kappa{}_{\mu\lambda}$ と $F_{\nu\kappa}=-F_{\kappa\nu}$ から、1つ目と4つ目は

$$-\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}F_{\kappa\nu}+\Gamma^\kappa{}_{\lambda\mu}F_{\kappa\nu}=0$$

で打ち消し合う。同じく2つ目と5つ目（$\Gamma^\kappa{}_{\lambda\nu}$ の組）、3つ目と6つ目（$\Gamma^\kappa{}_{\mu\nu}$ の組）も打ち消し合う。したがって巡回和は偏微分の巡回和に等しい。15. 11.4-2 $g=-a^6$ なので $\sqrt{-g}=a^3$ である。したがって (11.37) は

$$\partial_0(a^3c\rho_{\mathrm e})=0,\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{d (\rho_{\mathrm e}a^3)}{d t}=0$$

で、$\rho_{\mathrm e}a^3$ は一定である。物理的な体積が $a^3$ に比例して増えるので、電荷密度は $a^{-3}$ に比例して薄まる。空間座標の立方体の中の電荷 $\rho_{\mathrm e}a^3$ は変わらない。エネルギーと違い、電荷は膨張しても保存する。16. 11.4-3 $B=1/A$ なので $AB=1$ である。例題 11.5 (b) は $F_{r0}=-\mu_0cQ/(4\pi r^2)$ となる。$A_r=0$ で静的なので $F_{r0}=\partial_rA_0-\partial_0A_r=\partial_rA_0$。積分して無限遠で 0 とすると

$$A_0=\int_\infty^r\Bigl(-\frac{\mu_0cQ}{4\pi r'^2}\Bigr)\mathrm{d} r'=\frac{\mu_0cQ}{4\pi r},\qquad \phi=cA_0=\frac{\mu_0c^2Q}{4\pi r}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}.$$

Schwarzschild の時空では、座標 $r$ で表した電位は平らな時空の Coulomb ポテンシャルと同じ形になる。17. 11.4-4 $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$ を使い、ダミー添字の名前 $\mu,\nu$ を入れ替えると

$$\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\mu\nu}=-\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\nu\mu}=-\nabla_\mu\nabla_\nu F^{\mu\nu}.$$

したがって $2\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\mu\nu}=(\nabla_\nu\nabla_\mu-\nabla_\mu\nabla_\nu)F^{\mu\nu}=[\nabla_\nu,\nabla_\mu]F^{\mu\nu}$。交換子の式で $\rho=\nu$、$\sigma=\mu$ とおいて縮約すると

$$[\nabla_\nu,\nabla_\mu]F^{\mu\nu}=R^\mu{}_{\lambda\nu\mu}F^{\lambda\nu}+R^\nu{}_{\lambda\nu\mu}F^{\mu\lambda}.$$

Riemann テンソルは後ろの2つの添字で反対称なので $R^\mu{}_{\lambda\nu\mu}=-R^\mu{}_{\lambda\mu\nu}=-R_{\lambda\nu}$、また $R^\nu{}_{\lambda\nu\mu}=R_{\lambda\mu}$ である。よって

$$[\nabla_\nu,\nabla_\mu]F^{\mu\nu}=-R_{\lambda\nu}F^{\lambda\nu}+R_{\lambda\mu}F^{\mu\lambda}.$$

Ricci テンソルは対称、$F$ は反対称なので、どちらの縮約も 0 である。したがって $\nabla_\nu\nabla_\mu F^{\mu\nu}=0$ で、Maxwell 方程式 (11.34) から $\mu_0\nabla_\nu J^\nu=0$ が出る。