宇宙定数

相対論入門　第11章 §11.3　★★ Einstein 方程式に許される唯一の追加の項。負の圧力を持つ真空のエネルギーと同じ働きをし、距離に比例する斥力になる

宇宙定数の項

§11.2 の候補 (11.14) のうち、$\lambda g_{\mu\nu}$ の項は条件 (a)–(c) をすべて満たす。$\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$ なので、発散は恒等的に 0 である。条件 (d)（平らな時空が真空の解になること）を外せば、この項を加えてよい。記法の正本に従って

$$R_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}R-\Lambda\,g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}\tag{11.25}$$

と書き、定数 $\Lambda$ を宇宙定数と呼ぶ。$\Lambda$ は長さの $-2$ 乗の次元を持つ。

計量の符号を $(+,-,-,-)$ にとっているので、宇宙項は $-\Lambda g_{\mu\nu}$ の形になる。$(-,+,+,+)$ の計量を使う本では、同じ内容が $+\Lambda g_{\mu\nu}$ と書かれている。$\Lambda>0$ の意味はどちらでも同じである。

歴史的には、Einstein は1917年に、時間によらない静的な宇宙を解として得るためにこの項を導入した（確認テスト 11.3-2）。その後 Hubble らによって宇宙の膨張が観測され、静的な宇宙の必要はなくなった。1998年に遠方の超新星の観測から宇宙の膨張が加速していることが報告され、$\Lambda>0$ の項（あるいはそれと同じ働きをする何か）が再び必要になった。

真空のエネルギーとしての読み方

(11.25) の宇宙項を右辺へ移すと

$$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\Bigl(T_{\mu\nu}+T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}\Bigr),\qquad T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}=\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}\,g_{\mu\nu}$$

となる。$T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}$ を完全流体 (11.2) と比べる。完全流体で $P=-\rho c^2$ と置くと、$u^\mu u^\nu$ の係数が 0 になる。残るのは

$$T_{\mu\nu}=\rho c^2g_{\mu\nu}$$

だけである。したがって宇宙項は

$$\rho_\Lambda=\frac{\Lambda c^2}{8\pi G},\qquad P_\Lambda=-\rho_\Lambda c^2\tag{11.26}$$

の完全流体と同じである。$T^{(\Lambda)}_{\mu\nu}$ は $u^\mu$ を含まないので、どの観測者から見ても同じ密度と圧力を持つ。特定の静止系を持たない、真空そのもののエネルギーとして読むことができる。

密度 $\rho_\Lambda$ は一定なので、宇宙が膨張しても薄まらない。これは確認テスト 11.1-4 の式で $\rho+P/c^2=0$ とした場合にあたり、$\dot\rho_\Lambda=0$ と整合する。

Newton 極限での斥力

宇宙項があるときのトレースを反転した形を作る。(11.25) を縮約すると $-R-4\Lambda=\kappa T$、すなわち $R=-\kappa T-4\Lambda$ である。これを戻すと

$$R_{\mu\nu}=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12\,g_{\mu\nu}T\Bigr)-\Lambda\,g_{\mu\nu}\tag{11.27}$$

となる。§11.2 と同じく弱い場では $R_{00}\simeq\nabla^2\Phi/c^2$、$g_{00}\simeq1$ である。00 成分は

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho-\Lambda c^2\tag{11.28}$$

となる。宇宙定数は、一様に分布した負の質量密度 $-\Lambda c^2/(4\pi G)=-2\rho_\Lambda$ と同じ働きをする。

この $-2\rho_\Lambda$ という値は、確認テスト 11.2-4 の結果から理解できる。静止した完全流体の重力の源は $\rho+3P/c^2$ であり、真空のエネルギーでは $\rho_\Lambda+3P_\Lambda/c^2=\rho_\Lambda-3\rho_\Lambda=-2\rho_\Lambda$ となる。圧力が負で十分大きいので、重力の源が負になる。

点質量 $M$ のまわりの真空（$\rho=0$）で、球対称な (11.28) の解を求める。球対称のラプラシアン $\nabla^2\Phi=r^{-2}(r^2\Phi')'$ で、$\nabla^2(r^2)=6$ なので

$$\Phi(r)=-\frac{GM}{r}-\frac{\Lambda c^2}{6}\,r^2\tag{11.29}$$

が解である（$r\to0$ で点質量の場に戻る解を選んだ）。単位質量あたりの力は

$$-\frac{d \Phi}{d r}=-\frac{GM}{r^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}\,r\tag{11.30}$$

で、第2項は外向きで距離に比例する斥力である。2つの項が釣り合う距離は

$$r_\Lambda=\Bigl(\frac{3GM}{\Lambda c^2}\Bigr)^{1/3}\tag{11.31}$$

であり、$r<r_\Lambda$ では引力、$r>r_\Lambda$ では斥力がまさる（図 11.2）。

確認テスト

オリジナル

1. 11.3-1 宇宙項 $-\Lambda g_{\mu\nu}$ を Einstein 方程式の左辺に加えても、$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ との整合が保たれる理由を1行で述べよ。

2. 11.3-2 密度 $\rho$ の一様なダストが静止したまま釣り合うには、(11.28) で $\nabla^2\Phi=0$ となればよい（一様な物質の中で力が 0）。このときの $\Lambda$ を $\rho$ で表せ。また $\rho=2\rho_\Lambda$ であることを示せ。

   1. (i) 例題 11.4 の $\Lambda$ ではこの $\rho$ はいくらか。
   2. (ii) $\rho$ が少しだけ大きい場合と小さい場合に、この釣り合いがどうなるかを述べよ。

3. 11.3-3 銀河の集まりの質量を次の値とする。

$$M=2.0\times10^{12}M_\odot,\qquad M_\odot=1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg}$$

(11.31) の $r_\Lambda$ をメガパーセク（$1\,\mathrm{Mpc}=3.086\times10^{22}\,\mathrm m$）で求めよ。ほかの定数は例題 11.4 の値を使う。4. 11.3-4 宇宙定数のある真空（$T_{\mu\nu}=0$）で、次の2式を示せ。

$$R=-4\Lambda,\qquad R_{\mu\nu}=-\Lambda g_{\mu\nu}$$