線形化した重力と重力波

相対論入門　第13章 §13.3　★★★ 計量を平らな計量と小さなずれ $h_{\mu\nu}$ に分けると、真空の Einstein 方程式は $h$ の波動方程式になり、座標の自由度を除くと2つの偏光が残る

線形化

時空がほぼ平らで、ある座標で計量が

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad|h_{\mu\nu}|\ll1\tag{13.22}$$

と書ける場合を考える。$h$ の2次以上を落とし、1次まで残す。逆計量は

$$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$$

である（$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu{}_\nu+O(h^2)$ を確かめればよい）。$h$ の添字の上げ下げは $\eta$ で行う。トレースを $h\equiv\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ と書く。第9章 §9.2 の弱い場の計量と、第11章で求めた空間成分

$$g_{00}\simeq1+\frac{2\Phi}{c^2},\qquad g_{ij}=-\Bigl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\delta_{ij}$$

はこの形で、$h_{00}=2\Phi/c^2$、$h_{ij}=(2\Phi/c^2)\delta_{ij}$ である。

Christoffel 記号は $h$ の1次の量なので、$\partial g=\partial h$ で

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\frac12\eta^{\rho\sigma}\bigl(\partial_\mu h_{\sigma\nu}+\partial_\nu h_{\sigma\mu}-\partial_\sigma h_{\mu\nu}\bigr)$$

である。Riemann テンソル (13.2) の $\Gamma\Gamma$ の項は2次なので落ちる。第1添字を $\eta$ で下げて $\Gamma_{\rho\nu\sigma}=\frac12(\partial_\nu h_{\rho\sigma}+\partial_\sigma h_{\rho\nu}-\partial_\rho h_{\nu\sigma})$ と書くと

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma_{\rho\nu\sigma}-\partial_\nu\Gamma_{\rho\mu\sigma} =\frac12\bigl(\partial_\mu\partial_\nu h_{\rho\sigma}+\partial_\mu\partial_\sigma h_{\rho\nu}-\partial_\mu\partial_\rho h_{\nu\sigma} -\partial_\nu\partial_\mu h_{\rho\sigma}-\partial_\nu\partial_\sigma h_{\rho\mu}+\partial_\nu\partial_\rho h_{\mu\sigma}\bigr)$$

で、第1項と第4項が消えて

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\frac12\bigl(\partial_\mu\partial_\sigma h_{\rho\nu}+\partial_\nu\partial_\rho h_{\sigma\mu}-\partial_\mu\partial_\rho h_{\sigma\nu}-\partial_\nu\partial_\sigma h_{\rho\mu}\bigr)\tag{13.23}$$

を得る。Ricci テンソル $R_{\mu\nu}=\eta^{\rho\alpha}R_{\alpha\mu\rho\nu}$ は、(13.23) の添字を $(\rho,\sigma,\mu,\nu)\to(\alpha,\mu,\rho,\nu)$ と付け替えて縮約し

$$R_{\mu\nu}=\frac12\bigl(\partial_\mu\partial^\alpha h_{\alpha\nu}+\partial_\nu\partial^\alpha h_{\alpha\mu}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu h\bigr),\qquad \Box\equiv\partial^\alpha\partial_\alpha=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\tag{13.24}$$

となる。静的な弱い場では $R_{00}=\frac12\nabla^2h_{00}=\nabla^2\Phi/c^2$ で、第11章 §11.2 の $R_{00}\simeq\nabla^2\Phi/c^2$ に一致する。

座標の取り替えとゲージ

$h_{\mu\nu}$ は座標を選ぶと決まる量で、同じ時空でも座標を少し変えると変わる。座標を $x'^\mu=x^\mu+\xi^\mu(x)$ と微小にずらす。ずらし $\xi$ とその微分は、$h$ と同程度に小さいとする。計量の変換則（第8章 §8.2）$g_{\mu\nu}(x)=(\partial x'^\alpha/\partial x^\mu)(\partial x'^\beta/\partial x^\nu)g'_{\alpha\beta}(x')$ に $\partial x'^\alpha/\partial x^\mu=\delta^\alpha{}_\mu+\partial_\mu\xi^\alpha$ を入れ、1次まで残すと

$$\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h'_{\mu\nu}+\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu$$

である。ここで $g'(x')$ を $g'(x)$ に置き換えた。その差は $\xi\cdot\partial h'$ の程度で、2次の量である。よって

$$h'_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\partial_\mu\xi_\nu-\partial_\nu\xi_\mu\tag{13.25}$$

である。これは電磁気のゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\chi$ と同じ構造である。$h$ のうち $\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu$ の形の部分は座標の取り方だけを表し、物理的な意味をもたない。

証明

(13.23) は $h$ について線形なので、$h_{\mu\nu}=\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu$ を入れて 0 になることを示せばよい（確認テスト 13.3-4）。

曲率が変わらないことから、座標の揺れだけの $h$（Riemann テンソルが 0）は重力波ではない。電磁気では場 $F_{\mu\nu}$ が観測量で、ポテンシャル $A_\mu$ は観測量でない。同じく線形化した重力では $R_{\rho\sigma\mu\nu}$ が観測量である。

調和ゲージと波動方程式

(13.24) は、トレースを反転した量

$$\bar h_{\mu\nu}\equiv h_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}h,\qquad \bar h=-h\tag{13.26}$$

を使うと簡単になる（$\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}=4$ から $\bar h=h-2h=-h$）。$D_\nu\equiv\partial^\alpha\bar h_{\alpha\nu}$ と書く。$\partial^\alpha h_{\alpha\nu}=D_\nu+\frac12\partial_\nu h$ なので、(13.24) の $\partial_\mu\partial_\nu h$ の項が打ち消し合って

$$R_{\mu\nu}=\frac12\bigl(\partial_\mu D_\nu+\partial_\nu D_\mu-\Box h_{\mu\nu}\bigr)\tag{13.27}$$

となる。

ゲージ変換 (13.25) で $D_\nu$ は $D'_\nu=D_\nu-\Box\xi_\nu$ と変わる（確認テスト 13.3-2）。したがって $\Box\xi_\nu=D_\nu$ を解いて $\xi$ を選べば、新しい座標で

$$\partial^\alpha\bar h_{\alpha\nu}=0\tag{13.28}$$

にできる。この条件を調和ゲージ（Lorenz ゲージとも呼ぶ）と呼ぶ。電磁気の Lorenz 条件 $\partial_\mu A^\mu=0$ に対応する条件である。

調和ゲージでは $R_{\mu\nu}=-\frac12\Box h_{\mu\nu}$ である。$\kappa=8\pi G/c^4$ と書くと、トレース反転した Einstein 方程式 (13.4) は1次で

$$-\frac12\Box h_{\mu\nu}=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}T\Bigr)$$

となる。源の $T_{\mu\nu}$ はすでに1次の小ささなので、右辺の計量を $\eta$ に置き換えてよい。両辺のトレースを反転すると、次の形にまとまる。

証明

$-\frac12\Box h_{\mu\nu}=\kappa(T_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}T)$ のトレースをとると $-\frac12\Box h=\kappa(T-2T)=-\kappa T$ である。これに $\frac12\eta_{\mu\nu}$ を掛けて元の式から引くと

$$-\frac12\Box\Bigl(h_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}h\Bigr)=\kappa\Bigl(T_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}T\Bigr)+\frac12\eta_{\mu\nu}\kappa T=\kappa T_{\mu\nu}$$

となり、$\Box\bar h_{\mu\nu}=-2\kappa T_{\mu\nu}$ を得る。

静的な弱い場で確かめる。$h_{00}=h_{ii}=2\Phi/c^2$（$i=1,2,3$）とすると

$$\begin{aligned}h&=\frac{2\Phi}{c^2}-3\cdot\frac{2\Phi}{c^2}=-\frac{4\Phi}{c^2},\\ \bar h_{00}&=\frac{4\Phi}{c^2},\qquad \bar h_{ij}=0\end{aligned}$$

である。(13.29) の 00 成分は

$$-\nabla^2\frac{4\Phi}{c^2}=-\frac{16\pi G\rho c^2}{c^4}$$

で、Poisson 方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ に一致する。圧力は $\rho c^2$ より小さいので、$T_{ij}$ は小さい。これは $\bar h_{ij}=0$ と整合する。作用（Einstein–Hilbert 作用を $h$ の2次まで展開したもの）から (13.29) を導く道は、虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第18章にある。

真空中の平面波と TT ゲージ

真空（$T_{\mu\nu}=0$）では (13.29) は $\Box\bar h_{\mu\nu}=0$ で、各成分が光速で伝わる波動方程式に従う。重力の変化は光速で伝わる。平面波の解

$$\bar h_{\mu\nu}=A_{\mu\nu}\cos(k_\alpha x^\alpha),\qquad k_\alpha k^\alpha=0,\qquad k^\alpha A_{\alpha\nu}=0\tag{13.30}$$

を考える。1つ目の条件が波動方程式、2つ目が調和ゲージ (13.28) である。$A_{\mu\nu}$ は対称で10成分、調和ゲージの4条件で6成分が残る。

調和ゲージを保つ座標の取り替えはまだ残っている。$D'_\nu=D_\nu-\Box\xi_\nu$ なので、$\Box\xi_\nu=0$ を満たすずらしなら調和ゲージは崩れない。$\xi_\nu=B_\nu\sin(k_\alpha x^\alpha)$ の形の4つの自由度で、さらに4つの条件

$$h_{0\mu}=0,\qquad h\equiv h^\mu{}_\mu=0\tag{13.31}$$

を課すことができる（$h=0$ なので $\bar h_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}$）。この座標を TT ゲージ（transverse–traceless）と呼ぶ。$h_{0\mu}=0$ と調和ゲージを合わせると $\partial^jh_{jk}=0$ で、波は進行方向に垂直な成分だけをもつ（横波）。残る自由度は $10-4-4=2$ である。

$z$ の向きに進む波 $k^\mu=(\omega/c)(1,0,0,1)$ を考える。横波の条件から $h_{3\mu}=0$ で、トレースが 0 なので $h_{11}=-h_{22}$ である。独立な成分は $h_{11}$ と $h_{12}$ の2つで、線素は次の形になる。

2つの振幅は線素から定義したので、$h_+>0$ は $x$ の向きの距離が伸びることを表す。$(-,+,+,+)$ の本では $h_{11}=+h_+$ と書く。成分 $h_{11}$ の符号だけがこの本と逆になり、2つの振幅の意味は同じである。

この平面波の Riemann テンソル (13.23) は 0 でなく、Ricci テンソル (13.24) は 0 である。重力波は真空の Einstein 方程式 $R_{\mu\nu}=0$ を満たしたまま伝わる時空の曲がりである。

重力波が粒子に及ぼす効果

TT ゲージの座標に静止した自由粒子は、重力波が来ても静止したままである。静止した粒子では、測地線の方程式の空間成分は $\mathrm{d}^2x^i/\mathrm{d}\tau^2=-\Gamma^i{}_{00}c^2$ である。$h_{0\mu}=0$ なので

$$\Gamma^i{}_{00}=\frac12\eta^{ij}\bigl(2\partial_0h_{j0}-\partial_jh_{00}\bigr)=0$$

で、粒子は加速しない。TT ゲージは、自由粒子に貼りついて動く座標になっている。それでも粒子間の固有の距離は変わる。$x$ 軸上の原点と $x=L$ に置いた2つの粒子の距離は、(13.32) から

$$L_{\mathrm{固有}}=\int_0^L\sqrt{1+h_+}\,\mathrm{d} x\simeq L\Bigl(1+\frac12h_+\Bigr)\tag{13.33}$$

で、$h_+$ とともに振動する。$y$ の向きの距離は $L(1-h_+/2)$ で、逆の位相で振動する。

同じ結果は測地線偏差の方程式からも得られる。TT ゲージで (13.23) の $R_{i0j0}$ を計算すると、$h_{0\mu}=0$ なので最後の項だけが残る。添字を上げた形まで書くと

$$R_{i0j0}=-\frac12\partial_0^2h_{ij},\qquad R^i{}_{0j0}=\frac12\partial_0^2h_{ij}$$

である。ゆっくり動く粒子どうしの偏差について (13.3) の空間成分は（第10章 §10.2 と同じ手順で）

$$\frac{\mathrm{d}^2\xi^i}{\mathrm{d} t^2}=-c^2R^i{}_{0j0}\,\xi^j=\frac12\,\frac{\partial^2\hat h_{ij}}{\partial t^2}\,\xi^j,\qquad \hat h\equiv\begin{pmatrix}h_+&h_\times\\ h_\times&-h_+\end{pmatrix}\tag{13.34}$$

となる。ここで $\xi^i$ は局所慣性系で測った偏差、$\hat h_{ij}=-h_{ij}$ は線素から読んだ空間の伸び縮みである。偏差の変化は小さいので、右辺の $\xi^j$ を初めの値 $\xi^j_0$ で置き換えて2回積分すると

$$\xi^i=\xi^i_0+\frac12\hat h_{ij}\,\xi^j_0$$

で、(13.33) と一致する。

円形に並べた粒子の輪で見ると、2つの偏光の変形は次のとおりである（図 13.3）。

• プラス偏光は、輪を $x$ の向きと $y$ の向きに交互に引き伸ばす。
• クロス偏光は、$45^\circ$ 傾いた向きに同じ変形をする。

座標を $z$ 軸のまわりに回すと、$(h_+,h_\times)$ は回した角の2倍だけ回る（確認テスト 13.3-3）。$90^\circ$ 回すと同じ変形に戻るので、重力波はスピン2の波である。進行方向の向きの成分が無いこと（横波）は、(13.34) で $\hat h_{3j}=0$ に対応する。

確認テスト

オリジナル

1. 13.3-1 重力波の独立な成分が2つになる数え方 $10-4-4=2$ の3つの数が、それぞれ何に由来するかを述べよ。
2. 13.3-2 ゲージ変換 (13.25) で $\bar h_{\mu\nu}$ がどう変わるかを求めよ。さらに $D_\nu=\partial^\alpha\bar h_{\alpha\nu}$ が $D'_\nu=D_\nu-\Box\xi_\nu$ と変わることを示せ。
3. 13.3-3 回転の行列を $R(\theta)$ と書く。座標を $z$ 軸のまわりに角 $\theta$ 回すと、(13.34) の行列は

$$\hat h\ \to\ R(\theta)^{\mathsf T}\hat hR(\theta)$$

に変わる。新しい振幅 $h_+'$、$h_\times'$ を求めよ。$\theta=45^\circ$ でプラス偏光がクロス偏光に移ることを確かめよ。4. 13.3-4 (13.23) に $h_{\mu\nu}=\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu$ を入れると 0 になることを示せ（命題 13.6 の証明）。