四重極公式と連星からの放射

2026年10月15日21分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第13章ブラックホールと重力波

遠くの波の振幅
放射の強さと次元解析
円軌道の連星
観測による検証
確認テスト
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

相対論入門　第13章 §13.4　★★ 重力波の振幅は質量の四重極モーメントの2階微分、放射の強さは3階微分の2乗で決まる。連星は重力波でエネルギーを失って近づき、振動数が上がりながら合体する

遠くの波の振幅

(13.29) は各成分が電磁気の4元ポテンシャルの波動方程式と同じ形をしている。電磁気学で遅延ポテンシャルを求めたのと同じ解き方（『電磁気学入門』第11章 §11.1）を使う。方程式 $(1/c^2)\partial_t^2f-\nabla^2f=4\pi s$ の遅延解は

$f(t,\bm x)=\int\frac{s\bigl(t-|\bm x-\bm x'|/c,\ \bm x'\bigr)}{|\bm x-\bm x'|}\,\mathrm{d}^3x'$

である。これに $s=-4GT_{\mu\nu}/c^4$ を当てはめると

$\bar h_{\mu\nu}(t,\bm x)=-\frac{4G}{c^4}\int\frac{T_{\mu\nu}\bigl(t-|\bm x-\bm x'|/c,\ \bm x'\bigr)}{|\bm x-\bm x'|}\,\mathrm{d}^3x'\tag{13.35}$

を得る。静的な場合、 $00$ 成分は $\bar h_{00}=-(4G/c^2)\int\rho/|\bm x-\bm x'|\,\mathrm{d}^3x'=4\Phi/c^2$ で、前節の結果と一致する。

源の大きさを $R$ 、源から観測者までの距離を $r$ とする。源が、この距離と放射の波長 $\lambda$ の両方より十分小さい場合を考える。源の中の運動が光速より十分遅ければ $\lambda\sim cT\gg R$ （ $T$ は運動の周期）は自動的に成り立つ。

このとき分母の $|\bm x-\bm x'|$ を $r$ に置き換えてよい。遅延時刻も、源の中心の $t-r/c$ に置き換えてよい。重力波を担う空間成分は

$\bar h_{ij}(t,\bm x)\simeq-\frac{4G}{c^4r}\int T_{ij}\bigl(t-r/c,\bm x'\bigr)\,\mathrm{d}^3x'$

である。右辺の応力の積分は、エネルギー運動量の保存則で質量分布に書き換えられる。

補題 13.9（四重極の恒等式 ★★）

平らな時空で $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を満たし、空間の遠くで 0 になる $T^{\mu\nu}$ について

$\int T^{ij}\,\mathrm{d}^3x=\frac12\,\frac{\mathrm{d}^2I^{ij}}{\mathrm{d} t^2},\qquad I^{ij}(t)\equiv\int\rho\,x^ix^j\,\mathrm{d}^3x\quad(T^{00}=\rho c^2)\tag{13.36}$

が成り立つ。 $I^{ij}$ を質量の2次のモーメントと呼ぶ。

証明

$x^0=ct$ とする。保存則を $\nu=0$ と $\nu=k$ に分けて書くと

$\partial_0T^{00}=-\partial_kT^{k0},\qquad \partial_0T^{0k}=-\partial_lT^{lk}$

である。2つを合わせると $\partial_0^2T^{00}=\partial_k\partial_lT^{kl}$ を得る。これに $x^ix^j$ を掛けて空間で積分し、右辺で2回部分積分する（表面の項は遠くで 0）。

$\partial_0^2\int T^{00}x^ix^j\,\mathrm{d}^3x=\int T^{kl}\,\partial_k\partial_l(x^ix^j)\,\mathrm{d}^3x =\int T^{kl}\bigl(\delta^i{}_k\delta^j{}_l+\delta^i{}_l\delta^j{}_k\bigr)\mathrm{d}^3x=2\int T^{ij}\,\mathrm{d}^3x .$

左辺は $(1/c^2)\,\mathrm{d}^2/\mathrm{d} t^2\int\rho c^2x^ix^j\,\mathrm{d}^3x=\ddot I^{ij}$ である。

空間の添字では、下げるときに $-1$ が2回掛かるので $T_{ij}=T^{ij}$ である。したがって遠くの重力波は

$\bar h_{ij}=-\frac{2G}{c^4r}\,\ddot I_{ij}\Bigl(t-\frac rc\Bigr)$

である。観測される伸び縮み $\hat h_{ij}=-h_{ij}$ にそろえ、進行方向に垂直でトレースの無い部分（TT 部分）を取り出すと

$\hat h_{ij}^{\mathrm{TT}}=\frac{2G}{c^4r}\,\ddot I_{ij}^{\mathrm{TT}}\Bigl(t-\frac rc\Bigr)\tag{13.37}$

となる。これが四重極公式の振幅の部分である。重力波の振幅は距離 $r$ に反比例して小さくなり、源の質量分布の形が時間変化するときにだけ生じる。

恒等式の中の $T^{ij}$

連星のように重力で結ばれた源では、保存則 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を満たすのは物質のエネルギー運動量テンソルだけではない。重力の場自身の応力を含めた全体が保存則を満たす。物質の運動の項 $\sum m v^iv^j$ だけでは (13.36) の左辺にならず、重力の応力の項を加えて初めて一致する（例題 13.5）。右辺の $\ddot I^{ij}$ は物質の位置だけで計算できるので、四重極公式は右辺の形で使う。

放射の強さと次元解析

重力波もエネルギーを運ぶ。TT ゲージの平面波について、波が運ぶエネルギーの流れの密度（単位面積・単位時間あたり）は、数波長にわたって平均すると

$S=\frac{c^3}{16\pi G}\Bigl\langle\dot h_+^2+\dot h_\times^2\Bigr\rangle\tag{13.38}$

である。この式は Einstein 方程式を $h$ の2次まで展開して得られるもので、作用（ $h$ の2次の作用）から導く道は虎の巻『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第2部第18章にある。ここでは結果として使う。(13.37) を (13.38) に入れて全立体角で積分すると、次の結果を得る（TT 部分の角度の平均を実行する計算も第2部第18章にある）。

定理 13.10（四重極公式 ★★）

ゆっくり運動する小さな源が重力波として放射する仕事率は

$P=\frac{G}{5c^5}\Bigl\langle\dddot Q_{ij}\,\dddot Q_{ij}\Bigr\rangle,\qquad Q_{ij}\equiv I_{ij}-\frac13\delta_{ij}I_{kk}\tag{13.39}$

である。 $Q_{ij}$ は跡を除いた質量の四重極モーメントである。 $\langle\ \rangle$ は周期にわたる平均を表し、添字 $i,j$ について和をとる。

電磁気の Larmor の公式（『電磁気学入門』第11章 §11.3）では、電荷の双極子モーメントの2階微分の2乗が放射の強さを決める。重力で同じ役割を果たす質量の双極子モーメント $\sum m\bm x$ は、全運動量の保存のため2階微分が 0 で、双極子放射は無い。放射は次の四重極から始まり、そのぶん $v/c$ の2乗だけ弱くなる。単極子 $\sum m$ （全質量）の変化も、エネルギーの保存のため放射を生まない。

(13.39) の大きさは次元解析で見積もれる。源の質量と大きさを $M$ 、 $R$ とする。運動の角振動数を $\omega$ とすると、 $\dddot Q\sim MR^2\omega^3$ で

$P\sim\frac{G}{c^5}\bigl(MR^2\omega^3\bigr)^2 .$

重力で結ばれた源では $\omega^2\sim GM/R^3$ なので、これを入れて整理すると

$P\sim\frac{c^5}{G}\Bigl(\frac{GM}{Rc^2}\Bigr)^5,\qquad\frac{c^5}{G}=3.63\times10^{52}\,\mathrm W\tag{13.40}$

となる。 $c^5/G$ は重力定数と光速だけで作れる仕事率の単位で、宇宙のすべての恒星の光度の和より大きい。強く放射するには $GM/(Rc^2)$ が 1 に近いこと、つまり源が自分の Schwarzschild 半径に近いほど小さく詰まっていることが要る。

$GM/(Rc^2)=0.1$ では $P\sim3.6\times10^{47}\,\mathrm W$ で、ブラックホールや中性子星の合体の直前がこれにあたる。地球と太陽の系では $GM_\odot/(Rc^2)\sim10^{-8}$ で、放射は $200\,\mathrm W$ にも満たない（確認テスト 13.4-2）。

円軌道の連星

2天体の質量を $m_1$ 、 $m_2$ とする。2天体が間隔 $a$ の円軌道を角速度 $\omega$ で回っている場合に、四重極公式を当てはめる。全質量と換算質量を

$M=m_1+m_2,\qquad \mu=\frac{m_1m_2}{M}$

とし、重心を原点に置く。2体の質量の2次のモーメントは、相対座標 $(x,y)=(a\cos\omega t,a\sin\omega t)$ を持つ質量 $\mu$ の1体のものに等しい。

例題 13.5　円軌道の連星の四重極放射 ★★

オリジナル

$I_{ij}$ を求めよ。2体を結ぶ単位ベクトルを $\bm n$ とする。恒等式 (13.36) の両辺が、運動の項 $\mu v^iv^j$ に重力の応力の項 $-(Gm_1m_2/a)\,n^in^j$ を加えたときに一致することを確かめよ。
四重極公式 (13.39) から放射の仕事率を求めよ。
$z$ 軸上の距離 $D$ の観測者が受ける重力波の振幅を求めよ。

解答

質量の2次のモーメントは

$\begin{aligned}I_{xx}&=\mu a^2\cos^2\omega t=\frac12\mu a^2(1+\cos2\omega t),\\ I_{yy}&=\frac12\mu a^2(1-\cos2\omega t),\qquad I_{xy}=\frac12\mu a^2\sin2\omega t\end{aligned}$

で、ほかは 0 である。2階微分は

$\ddot I_{xx}=-2\mu a^2\omega^2\cos2\omega t,\qquad \ddot I_{xy}=-2\mu a^2\omega^2\sin2\omega t$

である。

一方、Kepler の法則 $\omega^2=GM/a^3$ から $Gm_1m_2/a=\mu a^2\omega^2$ である。これを使うと、運動の項と重力の応力の項の和は成分ごとに

$\begin{aligned}\mu v_x^2-\frac{Gm_1m_2}{a}n_x^2&=\mu a^2\omega^2\sin^2\omega t-\mu a^2\omega^2\cos^2\omega t\\ &=-\mu a^2\omega^2\cos2\omega t=\frac12\ddot I_{xx},\\ \mu v_xv_y-\frac{Gm_1m_2}{a}n_xn_y&=-\mu a^2\omega^2\sin\omega t\cos\omega t-\mu a^2\omega^2\cos\omega t\sin\omega t\\ &=-\mu a^2\omega^2\sin2\omega t=\frac12\ddot I_{xy}\end{aligned}$

となり、どちらの成分も一致する。2. $I_{kk}=\mu a^2$ は一定なので、 $\dddot Q_{ij}=\dddot I_{ij}$ である。3階微分は

$\dddot I_{xx}=-\dddot I_{yy}=4\mu a^2\omega^3\sin2\omega t,\qquad \dddot I_{xy}=-4\mu a^2\omega^3\cos2\omega t$

で、これらから

$\dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}=\dddot I_{xx}^2+\dddot I_{yy}^2+2\dddot I_{xy}^2=16\mu^2a^4\omega^6\bigl(2\sin^22\omega t+2\cos^22\omega t\bigr)=32\mu^2a^4\omega^6$

は時刻によらない。 $\omega^2=GM/a^3$ を入れて

$P=\frac{G}{5c^5}\cdot32\mu^2a^4\omega^6=\frac{32}{5}\,\frac{G^4\mu^2M^3}{c^5a^5}\tag{13.41}$

を得る。3. $z$ の向きに進む波の TT 部分は、 $xy$ のブロックからトレースを除いたものである。その成分は

$\hat h_+=\frac12\bigl(\hat h_{xx}-\hat h_{yy}\bigr),\qquad \hat h_\times=\hat h_{xy}$

である。(13.37) から

$h_+=\frac{G}{c^4D}\bigl(\ddot I_{xx}-\ddot I_{yy}\bigr)=-\frac{4G\mu a^2\omega^2}{c^4D}\cos2\omega t,\qquad h_\times=-\frac{4G\mu a^2\omega^2}{c^4D}\sin2\omega t$

である（遅延時刻 $t-D/c$ を $t$ と書いた）。重力波の角振動数は公転の $2\omega$ で、2つの偏光が $90^\circ$ ずれた円偏光である。振幅は $h_0=4G\mu a^2\omega^2/(c^4D)$ である。

連星の軌道のエネルギーは $E=-Gm_1m_2/(2a)=-G\mu M/(2a)$ である。重力波でエネルギーを失うと $a$ が小さくなる。 $\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=-P$ に $\mathrm{d} E/\mathrm{d} a=G\mu M/(2a^2)$ を使うと

$\frac{d a}{d t}=-\frac{P}{\mathrm{d} E/\mathrm{d} a}=-\frac{64}{5}\,\frac{G^3\mu M^2}{c^5a^3}\tag{13.42}$

を得る。これを積分すると、間隔 $a$ から合体（ $a\to0$ ）までの時間は

$\tau=\frac{5}{256}\,\frac{c^5a^4}{G^3\mu M^2}\tag{13.43}$

である。公転周期 $P_{\mathrm b}=2\pi\sqrt{a^3/(GM)}$ は $a^{3/2}$ に比例する。したがって $\dot P_{\mathrm b}/P_{\mathrm b}=\frac32\dot a/a$ で、周期は短くなっていく。

観測では重力波の振動数 $f=\omega/\pi$ の変化が直接見える。 $f=\pi^{-1}\sqrt{GM/a^3}$ を時間で微分して (13.42) を入れ、間隔を振動数で書き直すと

$\dot f=\frac{96}{5}\,\pi^{8/3}\Bigl(\frac{G\mathcal M}{c^3}\Bigr)^{5/3}f^{11/3},\qquad\mathcal M\equiv\mu^{3/5}M^{2/5}=\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}\tag{13.44}$

となる（確認テスト 13.4-3）。振動数とその上がり方は、2つの質量の組み合わせ $\mathcal M$ だけで決まる。 $\mathcal M$ をチャープ質量と呼ぶ（「チャープ」は鳥のさえずりのように振動数が上がる音のこと）。振幅も同じ組み合わせで書ける。例題 13.5 の振幅に $a=(GM/\omega^2)^{1/3}$ と $\omega=\pi f$ を入れて

$h_0=\frac{4}{c^4D}\bigl(G\mathcal M\bigr)^{5/3}(\pi f)^{2/3}\tag{13.45}$

である。振動数が $f$ のときから合体までの時間は (13.43) を $f$ で書き直して

$\tau(f)=\frac{5}{256}\Bigl(\frac{G\mathcal M}{c^3}\Bigr)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3}=\frac38\,\frac{f}{\dot f}\tag{13.46}$

となる。

観測による検証

最初の証拠は連星パルサーから得られた。1974年に Hulse と Taylor が発見した PSR B1913+16 は、中性子星（パルサー）と中性子星の連星で、公転周期 $P_{\mathrm b}=7.75$ 時間、離心率 $e=0.617$ の軌道を回る。パルサーの規則正しいパルスの到着時刻を何十年も測ることで、軌道の周期の変化を精密に追うことができる。離心率のある軌道では (13.41) に

$f(e)=\frac{1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4}{(1-e^2)^{7/2}}$

を掛けたものが平均の放射になる（Peters と Mathews の結果。ここでは主張だけ使う）。

例題 13.6　連星パルサーの公転周期の減少 ★★

オリジナルPSR B1913+16 の2つの質量を $m_1=1.4398M_\odot$ 、 $m_2=1.3886M_\odot$ とする。公転周期を $P_{\mathrm b}=27907\,\mathrm s$ 、離心率を $e=0.6171$ とする。周期の変化率は

$\dot P_{\mathrm b}=-\frac{192\pi}{5}\Bigl(\frac{G}{c^3}\Bigr)^{5/3}\Bigl(\frac{P_{\mathrm b}}{2\pi}\Bigr)^{-5/3}f(e)\,\frac{m_1m_2}{(m_1+m_2)^{1/3}}$

で与えられる（円軌道では (13.42) と $\dot P_{\mathrm b}/P_{\mathrm b}=\frac32\dot a/a$ から導ける。確認テスト 13.4-3 の延長）。 $f(e)$ と $\dot P_{\mathrm b}$ を求めよ。

周期が一定だった場合に比べて、30年間で近星点を通る時刻は累積で何秒ずれるか。

解答

$e^2=0.3808$ を使うと、 $f(e)$ の分子と分母は

$\begin{aligned}1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4&=1+3.042\times0.3808+0.3854\times0.1450=2.214,\\ (1-e^2)^{7/2}&=(0.6192)^{3.5}=0.1867\end{aligned}$

で、 $f(e)=11.86$ である。偏心した軌道では近星点で2天体が近づいて強く放射するので、円軌道の12倍の放射になる。数値を入れると（ $GM_\odot/c^3=4.925\times10^{-6}\,\mathrm s$ を使う）

$\dot P_{\mathrm b}=-\frac{192\pi}{5}\,(4.925\times10^{-6})^{5/3}\Bigl(\frac{27907}{2\pi}\Bigr)^{-5/3}\times11.86\times\frac{1.4398\times1.3886}{(2.8284)^{1/3}}=-2.40\times10^{-12}$

である（無次元。1秒あたり 2.4 ピコ秒ずつ周期が縮む）。

周期が $P_{\mathrm b}(t)=P_{\mathrm b}+\dot P_{\mathrm b}t$ と変わるとき、時刻 $T$ までの周回の数は

$\int_0^T\frac{\mathrm{d} t}{P_{\mathrm b}(t)}\simeq\frac{T}{P_{\mathrm b}}-\frac{\dot P_{\mathrm b}T^2}{2P_{\mathrm b}^2}$

である。増えた周回の数に周期を掛けると、近星点を通る時刻の累積のずれは $\frac12|\dot P_{\mathrm b}|T^2/P_{\mathrm b}$ になる。 $T=30$ 年 $=9.47\times10^8\,\mathrm s$ で

$\frac12\times\frac{2.40\times10^{-12}}{27907}\times(9.47\times10^8)^2=38.6\,\mathrm s$

である。観測された累積のずれはこの予言の曲線に 0.3% 以内で一致し、重力波の存在の最初の間接的な証拠となった（1993年 Nobel 物理学賞）。

重力波の直接の検出は、2015年9月14日に米国の2台のレーザー干渉計 LIGO（腕の長さ $4\,\mathrm{km}$ ）が捉えた信号 GW150914 が最初である。

信号は約 0.2 秒のあいだに、振動数が $35\,\mathrm{Hz}$ から約 $250\,\mathrm{Hz}$ まで上がった。振幅のピークは $1.0\times10^{-21}$ だった。波形を一般相対論の計算と比べて、質量が太陽の約36倍と約29倍の2つのブラックホールが約 $410\,\mathrm{Mpc}$ の距離で合体し、太陽の約3倍の質量に相当するエネルギーが重力波として放出されたと結論された（2017年 Nobel 物理学賞）。

合体の直前の振動数の急な上昇は、(13.44) の $f^{11/3}$ に従う。上がりきる振動数は、例題 13.2 の ISCO の目安（全質量 $65M_\odot$ で約 $70\,\mathrm{Hz}$ ）より高い。ISCO の内側では2つのブラックホールが急速に落ち込んで1つになるので、最後の部分は四重極公式の範囲を超え、Einstein 方程式を数値で解いた計算と比べる。

図 13.4　チャープ質量 $\mathcal M=28.1M_\odot$ の連星の重力波の振動数 (13.46)。横軸は四重極公式で外挿した合体の時刻 $t_{\mathrm c}$ から測った時刻。最後の $0.01$ 秒で振動数が $100\,\mathrm{Hz}$ を超えて急に上がる。

例題 13.7　GW150914 のチャープ質量と振幅 ★★

オリジナル質量 $36M_\odot$ と $29M_\odot$ のブラックホールの連星について、

チャープ質量 $\mathcal M$ を求めよ。
重力波の振動数が $35\,\mathrm{Hz}$ のときから合体までの時間 (13.46) を求めよ。
$f=100\,\mathrm{Hz}$ での $\dot f$ を求めよ。逆に、振動数とその変化率の観測値から $\mathcal M$ を読み取る式を書け。
距離 $D=410\,\mathrm{Mpc}$ の連星を $z$ 軸の向きから見る。 $f=100\,\mathrm{Hz}$ のときの振幅 $h_0$ を求めよ。

解答

チャープ質量は

$\mathcal M=\frac{(36\times29)^{3/5}}{65^{1/5}}M_\odot=\frac{1044^{0.6}}{65^{0.2}}M_\odot=\frac{64.94}{2.306}M_\odot=28.1M_\odot$

である。2. $G\mathcal M/c^3=28.1\times4.925\times10^{-6}=1.384\times10^{-4}\,\mathrm s$ で

$\tau=\frac{5}{256}\,(1.384\times10^{-4})^{-5/3}\,(\pi\times35)^{-8/3}=0.19\,\mathrm s$

である。観測で振動数が $35\,\mathrm{Hz}$ から上がりきるまでの約 0.2 秒と合う。3. $\dot f=\frac{96}{5}\pi^{8/3}(1.384\times10^{-4})^{5/3}\times100^{11/3}=3.2\times10^3\,\mathrm{Hz/s}$ である。(13.44) を $\mathcal M$ について解くと

$\frac{G\mathcal M}{c^3}=\Bigl(\frac{5}{96}\,\pi^{-8/3}f^{-11/3}\dot f\Bigr)^{3/5}$

で、振動数とその上がり方を測るだけで、距離によらずチャープ質量が決まる。4. $G\mathcal M=28.1\times1.327\times10^{20}=3.73\times10^{21}\,\mathrm{m^3/s^2}$ 、 $D=410\times10^6\times3.086\times10^{16}=1.27\times10^{25}\,\mathrm m$ で

$h_0=\frac{4\,(3.73\times10^{21})^{5/3}(100\pi)^{2/3}}{(2.998\times10^8)^4\times1.27\times10^{25}}=1.6\times10^{-21}$

である。観測されたピークの振幅 $1.0\times10^{-21}$ と同じ桁である（実際の連星は軸の向きから傾いて見え、遠方の天体では宇宙の膨張による補正も入る）。

確認テスト

オリジナル

13.4-1 質量の双極子モーメント $\sum m\bm x$ による重力波の放射が無い理由を1文で述べよ。
13.4-2 地球と太陽の連星を円軌道とし、間隔を $a=1.496\times10^{11}\,\mathrm m$ とする。地球の質量は $5.97\times10^{24}\,\mathrm{kg}$ 、太陽の質量は $1.989\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ である。この連星が重力波として放射する仕事率と、重力波だけで合体するまでの時間を求めよ。
13.4-3 (13.42) から (13.44) を導け。
13.4-4 質量 $1.4M_\odot$ の中性子星2つの連星について、チャープ質量と、重力波の振動数が $10\,\mathrm{Hz}$ になってから合体までの時間を求めよ。

木下の勉強ステータス

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この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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