この章のまとめ

相対論入門　第13章 §13.5

Schwarzschild 計量の $r=r_{\mathrm s}$ で起きる成分の発散は、曲率のスカラー $K=12r_{\mathrm s}^2/r^6$ が有限であることから座標の特異点であり、内向きの光を目盛りにした Eddington–Finkelstein 座標 (13.13) で取り除かれた。この座標では、光円錐は Schwarzschild 半径に近づくにつれて内側へ倒れる。$r<r_{\mathrm s}$ では、未来を向いたどの曲線に沿っても $r$ が減る（定理 13.3）。$r=r_{\mathrm s}$ の球面は、内側の事象が外へ信号を送れない境界、すなわち事象の地平面である。

落ちる観測者は有限の固有時で地平面を通り過ぎ、その間に感じる潮汐力は $1/M^2$ に比例するので、重いブラックホールの地平面は局所的には穏やかである。時空の特異点は $r=0$ にある。

第12章の有効ポテンシャルに含まれる $r^{-3}$ の項は、強い場で円軌道の構造を変える。安定な円軌道は $r>6GM/c^2$ に限られ（定理 13.5）、ISCO まで落ちたガスは静止エネルギーの $5.7\%$ を放つ。光は $r=3GM/c^2$ の光子球で不安定な円軌道を描き、衝突径数が $b_{\mathrm c}=3\sqrt3\,GM/c^2$ より小さい光は捕らえられる。これがブラックホールの影の大きさを決め、M87 の中心の観測と比べられる。

後半では、計量を $\eta+h$ と分けて Einstein 方程式を1次まで展開した。座標のずらしが $h$ のゲージ変換 (13.25) になり、調和ゲージで方程式は波動方程式 $\Box\bar h_{\mu\nu}=-16\pi GT_{\mu\nu}/c^4$ になる（定理 13.7）。

真空では重力の変化が光速で伝わり、TT ゲージで残る2つの偏光 $h_+$、$h_\times$ が、進行方向に垂直な面の中で粒子の間隔を逆の位相で伸び縮みさせる。遠くの振幅は質量の四重極モーメントの2階微分で決まり (13.37)、放射の強さは3階微分の2乗で決まる（四重極公式 (13.39)）。

連星はこの放射でエネルギーを失って近づき、振動数がチャープ質量で決まる上がり方 (13.44) で上がって合体する。連星パルサーの公転周期の減少と LIGO の直接の検出は、ともにこの予言と一致した。

次の第14章では、時空全体の構造をもう一度 Einstein 方程式で扱う。この章が1つの天体のまわりの局所的な時空と、その揺らぎの伝わり方を調べたのに対し、第14章は一様に物質が満ちた宇宙全体の計量（FLRW 計量）を求め、宇宙の膨張を Friedmann 方程式で記述する。この章の光の進路の扱い（光的測地線に沿って振動数が変わること）は、宇宙論的赤方偏移の計算でもう一度使う。