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要点整理

2026年10月15日3分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第5章 多価関数と分岐截線（鍵穴積分）

AI 生成・木下が未勉強

応用数学入門　第5章 §5.1　★ 分岐切断で一価化し、上下の位相差 1−e2πi(α−1)1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(\alpha-1)} を作る

zαz^\alpha（α∉Z\alpha\notin\mathbb{Z}）や log⁡z\log z は多価関数で、原点のまわりを一周すると値が変わる。一価に扱うには分岐截線（切断）を入れて偏角の範囲を固定する（分枝を選ぶ）。∫0∞xα−1R(x) ⁣dx\int_0^\infty x^{\alpha-1}R(x)\mathop{}\!\mathrm{d} x 型には、正の実軸に沿って切断を入れた鍵穴（keyhole）積分路が有効である。

要点

鍵穴積分の要点。正実軸を切断とし arg⁡z∈[0,2π)\arg z\in[0,2\pi) とすると、切断の上側で zα−1=xα−1z^{\alpha-1}=x^{\alpha-1}、下側で zα−1=xα−1e2πi(α−1)z^{\alpha-1}=x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(\alpha-1)}。両者の差が積分に残り、

(1−e2πi(α−1))∫0∞xα−1R(x) ⁣dx=2πi∑Res⁡[zα−1R(z)].\bigl(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(\alpha-1)}\bigr)\int_0^\infty x^{\alpha-1}R(x)\mathop{}\!\mathrm{d} x =2\pi\mathrm{i}\sum\operatorname{Res}\bigl[z^{\alpha-1}R(z)\bigr].

例題 5.1（鍵穴積分 ★）

オリジナル0<α<10<\alpha<1 とする。∫0∞xα−11+x ⁣dx=πsin⁡πα\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha} を示せ。

解答

f(z)=zα−11+zf(z)=\dfrac{z^{\alpha-1}}{1+z}、arg⁡z∈[0,2π)\arg z\in[0,2\pi) の分枝を取り鍵穴積分路で囲む。内部の極は z=−1=eiπz=-1=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}（単純極）で、

Res⁡z=−1=zα−1∣z=eiπ=eiπ(α−1)=−eiπα.\operatorname{Res}_{z=-1}=z^{\alpha-1}\big|_{z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi(\alpha-1)}=-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha}.

切断の上下の寄与差は (1−e2πi(α−1))I\bigl(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}(\alpha-1)}\bigr)I（大円・小円は 0<α<10<\alpha<1 で消える）。留数定理より

(1−e2πiα)I=2πi(−eiπα).\bigl(1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha}\bigr)I=2\pi\mathrm{i}\bigl(-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha}\bigr).

左辺を eiπα\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha} でくくると −eiπα(e−iπα−eiπα)⋅(−1)-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\alpha}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha})\cdot(-1)…整理すると

I=−2πi eiπα1−e2πiα=2πieiπα−e−iπα=2πi2isin⁡πα=πsin⁡πα.I=\frac{-2\pi\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha}}{1-\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\alpha}} =\frac{2\pi\mathrm{i}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\alpha}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\alpha}} =\frac{2\pi\mathrm{i}}{2\mathrm{i}\sin\pi\alpha}=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}.

（検算スクリプト で確認。）検算：α=1/2\alpha=1/2 で I=π/sin⁡(π/2)=πI=\pi/\sin(\pi/2)=\pi、これは ∫0∞ ⁣dxx(1+x)=π\int_0^\infty\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{\sqrt x(1+x)}=\pi と一致する。

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