総合演習

$z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$、$\cos\theta=\tfrac12(z+z^{-1})$、$\cos2\theta=\tfrac12(z^2+z^{-2})=\operatorname{Re} z^2$。分母 $5-3\cos\theta=5-\tfrac32(z+z^{-1})=-\tfrac{3}{2z}(z^2-\tfrac{10}{3}z+1)=-\tfrac{3}{2z}(z-3)(z-\tfrac13)$。単位円内の極は $z=\tfrac13$。$\cos2\theta$ は $\tfrac12(z^2+z^{-2})$ とし、$\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=\mathop{}\!\mathrm{d} z/(\mathrm{i} z)$ を掛けて周回積分にすると、$z=0$（$z^{-2}$ から生じる2位の極）と $z=\tfrac13$ の留数を拾う。計算すると

$$\int_0^{2\pi}\frac{\cos 2\theta}{5-3\cos\theta}\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{18}.$$

一般に $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{\cos n\theta}{5-3\cos\theta}\mathop{}\!\mathrm{d}\theta=\frac{\pi}{2}\Bigl(\frac13\Bigr)^{n}$となり（$n=1$ で $\pi/6$、$n=2$ で $\pi/18$）、減衰率 $1/3$ は単位円内の極 $z=1/3$ に対応する。

上半平面の極は $z=\mathrm{i}$（$x^2+1$）と $z=2\mathrm{i}$（$x^2+4$）。

$$\operatorname{Res}_{z=\mathrm{i}}\frac{z^2}{(z^2+1)(z^2+4)}=\frac{z^2}{2z(z^2+4)}\Big|_{\mathrm{i}}=\frac{-1}{2\mathrm{i}\cdot3}=\frac{-1}{6\mathrm{i}},$$

$$\operatorname{Res}_{z=2\mathrm{i}}=\frac{z^2}{(z^2+1)2z}\Big|_{2\mathrm{i}}=\frac{-4}{(-3)\cdot4\mathrm{i}}=\frac{1}{3\mathrm{i}}.$$

和は $\dfrac{-1}{6\mathrm{i}}+\dfrac{1}{3\mathrm{i}}=\dfrac{1}{6\mathrm{i}}$。よって

$$\int_{-\infty}^\infty=2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{1}{6\mathrm{i}}=\frac{\pi}{3}.$$

（検算スクリプト で確認。）部分分数$\dfrac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}=\dfrac{-1/3}{x^2+1}+\dfrac{4/3}{x^2+4}$ から$-\tfrac13\pi+\tfrac43\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ としても同じ（検算になる）。

$\dfrac{x\sin x}{x^2+1}=\operatorname{Im}\dfrac{x\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{x^2+1}$。$k=1>0$ で上半円で閉じる（Jordan）。上半平面の極 $z=\mathrm{i}$ での留数は

$$\operatorname{Res}_{z=\mathrm{i}}\frac{z\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}}{(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i})}=\frac{\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{-1}}{2\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{e}^{-1}}{2}.$$

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{x\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{x^2+1}\mathop{}\!\mathrm{d} x=2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{\mathrm{e}^{-1}}{2}=\frac{\pi\mathrm{i}}{\mathrm{e}}$、その虚部をとって

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{x\sin x}{x^2+1}\mathop{}\!\mathrm{d} x=\frac{\pi}{\mathrm{e}}.$$

（検算スクリプト で確認。）$x\cos x/(x^2+1)$ の方は奇関数なので積分 $0$（実部）と整合する。

上半平面の極 $z=\mathrm{i}$ は2位。2位の極の留数公式で

$$\operatorname{Res}_{z=\mathrm{i}}\frac{1}{(z-\mathrm{i})^2(z+\mathrm{i})^2}=\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} z}\frac{1}{(z+\mathrm{i})^2}\Big|_{\mathrm{i}} =\frac{-2}{(z+\mathrm{i})^3}\Big|_{\mathrm{i}}=\frac{-2}{(2\mathrm{i})^3}=\frac{-2}{-8\mathrm{i}}=\frac{1}{4\mathrm{i}}.$$

よって

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{(x^2+1)^2}=2\pi\mathrm{i}\cdot\frac{1}{4\mathrm{i}}=\frac{\pi}{2}.$$

（検算スクリプト で確認。）高位の極では微分を伴う留数公式を使うのがポイント。$1$位（$\int dx/(x^2+1)=\pi$）と比べ半分になるのは、$(x^2+1)^2$ がより速く減衰するためである。