複素数・初等関数の値（四則・共役・$\cos\mathrm{i}$）

要点

商 $\dfrac{p}{q}$ は分母の共役 $\bar q$ を分母・分子に掛けて実数化する（$q\bar q=\left\vert q\right\vert ^2$ は実数）。初等関数の複素値はオイラーの定義に戻す：$\cos z=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2}$、$\sin z=\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} z}}{2\mathrm{i}}$。とくに $\cos(\mathrm{i} y)=\cosh y$ は$1$ を超えうる（実軸上の $\left\vert \cos\right\vert \le1$ と対照的）。