多価対数と冪（値と法則の破れ）

要点

$z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$（$r>0$）に対し

$$\log z=\ln r+\mathrm{i}(\theta+2\pi k)\ (k\in\mathbb{Z}),\qquad z^a:=\mathrm{e}^{a\log z}$$

はいずれも多価（偏角の $2\pi$ 不定性による）。主値 $\operatorname{Log} z$ は $\arg z\in(-\pi,\pi]$ に制限。$a=1/n$ のときは相異なる$n$ 個の値（$n$ 乗根）が出る。