ガンマ関数（極・留数・反射公式）

要点

$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^\infty\mathrm{e}^{-t}t^{z-1}\mathop{}\!\mathrm{d} t$（$\operatorname{Re} z>0$）は関数等式 $\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z)$ で全平面に解析接続され、$z=0,-1,-2,\dots$ に単純極をもつ（それ以外で正則、零点なし）。留数は $\operatorname{Res}_{z=-n}\Gamma=\dfrac{(-1)^n}{n!}$（とくに $\operatorname{Res}_{z=0}\Gamma=1$）。反射公式：$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi z)}$。