導入：なぜ漸近展開が必要か

応用数学入門　第8章 §8.1　★★ 漸近展開・鞍点法が何のための道具かを掴む導入（計算より土台）

多くの物理・数学の問題では、積分

$$I(\lambda) = \int_C f(z)\,\mathrm{e}^{\lambda g(z)}\,\mathrm{d} z\tag{8.1}$$

が現れる。ここで $\lambda$ は大きな実パラメータ、$C$ は複素平面上の積分路、$f,g$ は解析関数である。$\lambda \to \infty$ における $I(\lambda)$ の振る舞いを知りたい場面は多いが、被積分関数 $\mathrm{e}^{\lambda g(z)}$ は $\lambda$ が大きくなると激しく振動・発散するため、直接の数値積分は困難になる。

鞍点法¹1saddle point method、あるいは最急降下法（method of steepest descent）とも呼ばれる。下の脚注へ閉じるは、こうした積分の漸近展開を組織的に導くための強力な手法である。本稿ではその理論と具体的計算法を、複数の例題を通じて解説する。