準備：複素関数の基礎概念

応用数学入門　第8章 §8.2　★★ $\operatorname{Re} g$ と $\operatorname{Im} g$ の役割・鞍点の言葉づかい（以降すべての前提）

解析関数と等高線

★　CR方程式から $|\mathrm{e}^{\lambda g}|$ の増減と位相の振動を読む準備

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ とし、$g(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ を解析関数とする。コーシー・リーマン方程式

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

が成立する。$\mathrm{e}^{\lambda g(z)} = \mathrm{e}^{\lambda u} \mathrm{e}^{i\lambda v}$ であるから、

• $u = \operatorname{Re} g$ が大きい点で絶対値 $|\mathrm{e}^{\lambda g}|$ は指数的に大きくなる。
• $v = \operatorname{Im} g$ が変化する方向で位相 $\mathrm{e}^{i\lambda v}$ が激しく振動する。

鞍点の定義

★★★　$g'(z_0)=0$ が鞍点。退化／非退化の区別が手法選択を決める

解析関数の実部 $u$ は調和関数（$\Delta u = 0$）であるから、孤立極大・孤立極小を持たない。$u$ の臨界点はすべて鞍点（山の稜線と谷の交点）である。複素平面上でこれを見ると、$\operatorname{Re} g$ の等高線と $\operatorname{Im} g$ の等高線が鞍点で互いに直交して交わる。

最急降下路と最急上昇路

★★★　最急降下方向 $\theta=(\pi-\phi)/2$ の導出。等位相＝積分路の必要条件

$z_0$ が非退化鞍点のとき、$g''(z_0) = |g''(z_0)|\mathrm{e}^{i\phi}$ と書く。$z = z_0 + r\mathrm{e}^{i\theta}$ として鞍点近傍で展開すると、

$$g(z) \approx g(z_0) + \tfrac{1}{2}|g''(z_0)|\mathrm{e}^{i\phi} r^2 \mathrm{e}^{2i\theta}.$$

$\operatorname{Re}[g(z)]$ が鞍点で最も急激に減少する方向（最急降下方向）は、

$$\phi + 2\theta = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \implies \theta = \frac{\pi - \phi}{2} + k\pi$$

で与えられる。この方向に沿った曲線を最急降下路¹1steepest descent path。下の脚注へ閉じるという。最急降下路上では $\operatorname{Im} g = \mathrm{const}$（位相が一定）であり、被積分関数の振動が消える。

なお、$\operatorname{Im} g = \mathrm{const}$ を満たす曲線は鞍点で複数枝が交差し、そのうち $\operatorname{Re} g$ が減少する枝が最急降下路、増加する枝が最急上昇路である。等位相線であることは積分路として使える必要条件にすぎず、どの枝を選ぶかは無限遠での $\operatorname{Re} g$ の挙動（積分の収束性）で決まる（§8.6.4 で具体例により詳しく述べる）。