鞍点法（最急降下法）の一般理論

応用数学入門　第8章 §8.3　★★★ 主要項の公式 $\sqrt{2\pi/(-\lambda g'')}$。全例題がここに帰着する

主要項の導出

★★★　ガウス積分への帰着で式 (8.2) を導く中心の証明

証明の概略：最急降下路上で $\operatorname{Im} g = \operatorname{Im} g(z_0) = \mathrm{const}$ であるから、$z = z_0 + s\mathrm{e}^{i\theta_0}$（$\theta_0$ は最急降下方向、$s \in \mathbb{R}$）と置ける。このとき

$$g(z) = g(z_0) + \tfrac{1}{2}g''(z_0)(z-z_0)^2 + O\!\left((z-z_0)^3\right)$$

と展開すると、最急降下方向では $g''(z_0)\mathrm{e}^{2i\theta_0} < 0$（実負）。よって $\mu := -g''(z_0)\mathrm{e}^{2i\theta_0} > 0$ と置けば、

$$I(\lambda) \approx f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\mathrm{e}^{i\theta_0} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\lambda\mu s^2/2}\mathrm{d} s = f(z_0)\mathrm{e}^{\lambda g(z_0)}\mathrm{e}^{i\theta_0}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda\mu}}.$$

$\mu = -g''(z_0)\mathrm{e}^{2i\theta_0}$ を代入して整理すると式 (8.2) を得る。$\square$

高次項と完全漸近展開

★★　補正係数 $c_1$ の構造。スターリングの $1/(12n)$ を再現する検算つき

$f(z)$ および $g(z)$ を鞍点 $z_0$ まわりでテイラー展開して系統的に積分すると、

$$I(\lambda) \sim \mathrm{e}^{\lambda g(z_0)} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{\lambda^{n+1/2}}, \quad \lambda \to \infty\tag{8.3}$$

の形の漸近展開が得られる。係数 $a_n$ は $g^{(k)}(z_0)$（$k \ge 2$）と$f^{(j)}(z_0)$（$j \ge 0$）の組み合わせで表される。たとえば $f \equiv 1$ の場合、第1補正項まで書くと

$$I(\lambda) \sim \mathrm{e}^{\lambda g(z_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{-\lambda g''(z_0)}} \left[1 + \frac{c_1}{\lambda} + O\!\left(\lambda^{-2}\right)\right], \qquad c_1 = \frac{5\bigl(g'''(z_0)\bigr)^2}{24\bigl(-g''(z_0)\bigr)^3} + \frac{g^{(4)}(z_0)}{8\bigl(-g''(z_0)\bigr)^2}\tag{8.4}$$

となる¹1後述のスターリングの公式（$g = \log s - s$、$g''=-1$、$g'''=2$、$g^{(4)}=-6$）では$c_1 = \frac{5\cdot 4}{24} - \frac{6}{8} = \frac{1}{12}$ となり、式 (8.6) の $1/(12n)$ 項を正しく再現する。下の脚注へ閉じる。