例題 1：スターリングの公式

応用数学入門　第8章 §8.4　★★★ 実鞍点の最も基本的な典型例。鞍点法の全手順をここで習得する

積分表示への帰着

★★　$t=ns$ で式 (8.1) 形へ。$\lambda,g,f$ の同定が第一歩

ガンマ関数の積分表示 $n! = \int_0^\infty t^n \mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t$ に $t = ns$ を代入すると、

$$n! = n^{n+1}\int_0^\infty \mathrm{e}^{n(\log s - s)}\mathrm{d} s.$$

これは式 (8.1) の形であり、$\lambda = n$、$g(s) = \log s - s$、$f(s) = 1$ である。

鞍点の計算

★★★　$g'=0$ で $s_0=1$、$g''(1)=-1<0$ で実軸が最急降下路と判定

$$g'(s) = \frac{1}{s} - 1 = 0 \implies s_0 = 1.$$

$$\begin{aligned}g(s_0) &= \log 1 - 1 = -1,\\ g''(s_0) &= -\frac{1}{s^2}\bigg|_{s=1} = -1 < 0.\end{aligned}$$

$g''(s_0) < 0$ であるから、$s_0 = 1$ は実軸上の極大点である。

実軸がすでに最急降下路となっているため、積分路の変形は不要である。

テイラー展開と主要項

★★★　ガウス積分で主要項 $\sqrt{2\pi n}(n/\mathrm{e})^n$ を出す核心の計算

$s = 1 + u$ とおいて展開する：

$$g(1+u) = -1 - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \cdots$$

主要項（ガウス積分）だけ取り出すと、

$$n! \approx n^{n+1}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{n(-1 - u^2/2)}\mathrm{d} u = n^{n+1}\mathrm{e}^{-n}\sqrt{\frac{2\pi}{n}}.$$

$$\boxed{n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n, \quad n \to \infty.}\tag{8.5}$$

高次項の計算

★★　偶数次モーメントで $1/(12n)$ 以降の補正を積み上げる

$u^3, u^4, \ldots$ 項を取り込む。奇数次のモーメントは消え、偶数次のみ寄与する：

$$\int_{-\infty}^{\infty} u^{2k} \mathrm{e}^{-nu^2/2}\mathrm{d} u = \frac{(2k-1)!!}{n^k}\sqrt{\frac{2\pi}{n}}.$$

これを整理すると完全漸近展開が得られる：

$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \cdots\right).\tag{8.6}$$

数値確認（$n = 10$、$10! = 3{,}628{,}800$）：

• 主要項のみ：$\approx 3{,}598{,}695$（相対誤差 $0.83\%$）
• $1/(12n)$ 項まで：$\approx 3{,}628{,}684$（相対誤差 $0.003\%$）