例題 2：複素鞍点とベッセル関数の漸近展開

応用数学入門　第8章 §8.5　★★ 複素鞍点が対で現れ干渉して余弦を生む典型

積分表示

★　$z=\mathrm{e}^{i\theta}$ で周回積分化し $g,f$ を同定する下ごしらえ

ベッセル関数の積分表示

$$J_n(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{i(x\sin\theta - n\theta)}\mathrm{d}\theta$$

に $z = \mathrm{e}^{i\theta}$（$\mathrm{d}\theta = \mathrm{d} z/(iz)$）を代入すると、

$$J_n(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint \mathrm{e}^{\frac{x}{2}(z - 1/z)} z^{-n-1}\mathrm{d} z.$$

$g(z) = \tfrac{1}{2}(z - z^{-1})$、$f(z) = z^{-n-1}/(2\pi i)$ の形になっている。

鞍点の計算

★★　$z_\pm=\pm i$ の2つの複素鞍点と $g'',g$ の値を求める

$$g'(z) = \frac{1}{2}\!\left(1 + \frac{1}{z^2}\right) = 0 \implies z^2 = -1 \implies z_{\pm} = \pm i.$$

各鞍点での値：

$$g(i) = i,\quad g(-i) = -i,\quad g''(i) = i,\quad g''(-i) = -i.$$

最急降下方向の決定

★★　各鞍点で $\theta=(\pi-\phi)/2$ を適用（$\pi/4$ と $3\pi/4$）

鞍点 $z_+ = i$：$g''(i) = i = \mathrm{e}^{i\pi/2}$ より、最急降下方向 $\theta_+ = (\pi - \pi/2)/2 = \pi/4$。

鞍点 $z_- = -i$：$g''(-i) = -i = \mathrm{e}^{-i\pi/2}$ より、最急降下方向 $\theta_- = (\pi + \pi/2)/2 = 3\pi/4$。

各鞍点からの寄与と結果

★★　2寄与の和が $\cos(x-n\pi/2-\pi/4)$ を作る（干渉が本質）

積分路を両鞍点の最急降下路に変形し、各鞍点からの寄与を式 (8.2) で計算して足し合わせる。$i^{-n-1} = \mathrm{e}^{-i\pi(n+1)/2}$ などを整理すると、

$$\boxed{J_n(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\!\left(x - \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right), \quad x \to \infty.}\tag{8.7}$$

2つの複素鞍点（$z = \pm i$）からの寄与が干渉して余弦関数が現れることが本質的である。