フーリエ級数から変換へ：$T\to\infty$ の極限

応用数学入門　第10章 §10.1　★ 変換が「和 $\to$ 積分」で生まれる背景。規約の違いに注意。

前章では周期 $T$ の関数を扱った。では、周期をもたない（つまり $T\to\infty$ の）関数はどうすればよいか。答えは「離散的だった振動数 $n\omega_0$ を連続変数にする」ことである。この極限操作からフーリエ変換が自然に現れる。本章ではさらに、デルタ関数・符号関数・主値といった、第 3 章の逆ラプラス変換で不可欠になる道具も準備する。

複素フーリエ級数とその係数を再掲する：

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n t},\qquad c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t')\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t'}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t', \qquad \omega_n\coloneqq n\omega_0=\frac{2\pi n}{T}.$$

隣り合う振動数の間隔は $\Delta\omega=\omega_{n+1}-\omega_n=\dfrac{2\pi}{T}$ である。$c_n$ を代入して $f$ を書き下し、$\dfrac{1}{T}=\dfrac{\Delta\omega}{2\pi}$ を用いると

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta\omega}{2\pi} \left[\int_{-T/2}^{T/2} f(t')\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t'}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t'\right]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n t}.$$

ここで $T\to\infty$ とすると、$\Delta\omega\to0$ となり、$\omega_n$ を渡る和は $\omega$ に関するリーマン和 $\to$ 積分に移行する（これは前章の直交性と並ぶ、本書で繰り返し使う極限操作である）。振動数の関数

$$\hat f(\omega)\coloneqq \int_{-\infty}^{\infty} f(t')\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t'}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t'$$

を定義すれば、上の極限は次の対を与える。