基本的な性質

応用数学入門　第10章 §10.2　★★ 時間移動・スケーリング・微分（$\mathcal{F}[f']=\mathrm{i}\omega\hat f$）。拡散方程式で常用。

以下、$\mathcal{F}[f]=\hat f$、$\mathcal{F}[g]=\hat g$ とする。証明はいずれも定義に代入して積分変数を取り替えるだけなので、考え方を添えて要点のみ示す。

とりわけ (5) が決定的に重要である。微分がフーリエ空間では「$\mathrm{i}\omega$ を掛けること」に化ける。これが、微分方程式をフーリエ（やラプラス）変換で解ける根本理由である。証明は部分積分一回：$\int f'(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t=[f\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]_{-\infty}^{\infty} +\mathrm{i}\omega\int f\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ で、$f(\pm\infty)=0$ なら境界項が消える。