ガウス積分とガウス関数の変換

定理 （ガウス積分 ★★★）

$$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha t^2}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\qquad(\operatorname{Re}\alpha>0).$$

より一般に、平方完成により

$$\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha t^2+\beta t}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;\mathrm{e}^{\beta^2/4\alpha}.$$

系 （ガウス関数の自己相似性 ★★★）

$$\mathcal{F}\!\left[\mathrm{e}^{-\alpha t^2}\right](\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\alpha t^2-\mathrm{i}\omega t}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;\mathrm{e}^{-\omega^2/4\alpha}.$$

ガウス関数のフーリエ変換はまたガウス関数である。とくに $\alpha=\tfrac12$ のとき、$\mathrm{e}^{-t^2/2}$ は（規格化を除いて）自分自身に写る。