畳み込み定理

応用数学入門　第10章 §10.4　★★★ 畳み込み＝FT空間の掛け算。拡散/積の問題の核心。

二つの関数の畳み込みを

$$(f*g)(t)\coloneqq \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,\mathop{}\!\mathrm{d}\tau$$

で定義する。この見慣れない積分が何を意味するのかを、先にはっきりさせておきたい。結論を一言でいえば、畳み込みとは「$g$ という応答特性をもつ装置に、$f$ という入力を通したときの出力」である。

畳み込みは線形時不変系の作用そのもの

★★　「入力 $*$ インパルス応答 $=$ 出力」。グリーン関数解の意味づけ。

なぜそう言えるのかを導出しよう。出発点は、どんな入力 $f(t)$ も、ずらしたデルタ関数の重ね合わせに書けるという事実である（デルタ関数の定義そのもの、§2.5）：

$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,\delta(t-\tau)\,\mathop{}\!\mathrm{d}\tau.$$

これは「時刻 $\tau$ に、大きさ $f(\tau)$ の瞬間的な打撃（インパルス）を次々に加えている」という描像である。

いま、考えている系（装置・媒質・回路など）が次の二つを満たすとする。

• 線形性：入力を $2$ 倍すれば出力も $2$ 倍、和の入力には和の出力が返る。
• 時不変性：同じ入力を後にずらして入れれば、出力も同じだけずれるだけで形は変わらない。

このような系を線形時不変系（LTI 系）とよぶ。系が単一のインパルス $\delta(t)$ に対して返す出力を $h(t)$ と書き、これをインパルス応答という。時不変性より、時刻 $\tau$ に入った大きさ $f(\tau)$ のインパルスに対する出力は $f(\tau)\,h(t-\tau)$ である。線形性よりこれらをすべて足し合わせてよいから、

$$\text{出力}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathop{}\!\mathrm{d}\tau=(f*h)(t).$$

すなわち畳み込みとは LTI 系の入出力関係そのものであり、インパルス応答 $h$ さえ分かれば、任意の入力に対する応答が計算できる。

畳み込みが現れる場面

★　応用の見取り図（音響・画像・確率・グリーン関数）。読み物。

この「入力 $*$ 応答 $=$ 出力」という構造は、分野を超えて至るところに現れる。

• 音響（コンボリューションリバーブ）：大聖堂で手を叩いた残響（＝そのホールのインパルス応答 $h$）を録音しておき、乾いた音源に畳み込むと、その音源がその大聖堂で鳴っているかのように聞こえる。
• 画像処理：2 次元の畳み込み。ガウスぼかしはガウス核との畳み込み、エッジ検出は微分核との畳み込みである。
• 信号処理：移動平均・平滑化は窓関数との畳み込み。各種フィルタの本体。
• 確率論：独立な確率変数 $X,Y$ の和 $X+Y$ の確率密度は、各密度の畳み込み$p_X*p_Y$ で与えられる。ガウス関数どうしの畳み込みがまたガウスになること（§2.3 の自己相似性）が、中心極限定理の背後にある。
• 物理（グリーン関数）：線形微分方程式 $Lu=f$ の解は $u=G*f$ と書ける。$G$ は「点源 $\delta$ に対する応答」＝グリーン関数である。駆動される振動子の応答、電荷分布 $\rho$ から作られるポテンシャル（$1/\left\vert \vec r\right\vert$ と $\rho$ の畳み込み）、そして本書第 4 章の熱伝導も、すべてこの形をしている。

これも微分の性質と並ぶ「変換の御利益」の代表である。面倒な畳み込み積分を、掛け算 $\to$ 逆変換の二段階に落とせる。ラプラス変換でもまったく同じ定理が成り立ち、第 3 章で活躍する。

前小節の描像と重ね合わせると、この定理の意味はさらに鮮明になる。畳み込みが「系を通すこと」だったのだから、畳み込み定理は「時間領域では面倒な積分（過去の記憶をたどる操作）が、変換領域ではただの掛け算になる」と言っている。系の作用は、変換領域では伝達関数 $\hat h(\omega)$（ラプラスなら $H(s)$）を掛けるだけの操作に化けるのである。フーリエ変換・ラプラス変換が線形系の解析にこれほど強いのは、まさにこのためである。系を通すという操作そのものが、変換領域では掛け算に化けるからである。