デルタ関数・符号関数・主値

応用数学入門　第10章 §10.5　★★ $\delta$ の初期条件（熱核）・逆ラプラスで使う道具。主値は演習 11.3 のヒント。

ここからは、逆ラプラス変換（§3.5、および演習 11.3）で直接使う「超関数」の道具を用意する。

ディラックのデルタ関数

★★　$\int\delta\varphi=\varphi(0)$、$\hat\delta=1$。点源＝インパルス。

デルタ関数 $\delta(t)$ は、任意の滑らかな $\varphi$ に対して

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,\varphi(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d} t=\varphi(0)$$

を満たす「関数」として特徴づけられる（正確には超関数）。反転公式に $f=\delta$ を入れると、$\hat\delta(\omega)=\int\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\mathop{}\!\mathrm{d} t=1$ なので、

$$\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\,\mathop{}\!\mathrm{d}\omega.$$

これは「すべての振動数を等しい重みで足すと、$t=0$ に集中したスパイクになる」という、きわめて有用な表示である。

ヘヴィサイド関数と符号関数

★　片側化のスイッチ。ラプラス変換の「$t\ge0$ のみ」と結ぶ。

ヘヴィサイド（階段）関数を

$$\varTheta (t)=\frac{1+\operatorname{sgn}(t)}{2}=\begin{cases}1&(t>0)\\ 0&(t<0)\end{cases}$$

と定義する。ここで $\operatorname{sgn}(t)$ は符号関数（$t>0$ で $+1$、$t<0$ で $-1$）である。$\varTheta$ は「片側だけ生かす」スイッチであり、ラプラス変換が「$t\ge0$ のみを見る片側変換」であることと本質的に結びついている（§3.1）。

符号関数のフーリエ変換と主値

★　$2\mathrm{i}\,\mathrm{P}\frac1p$ の公式。演習 11.3(2) の別解ヒント。

$\operatorname{sgn}(t)$ は無限遠で $0$ に減衰しないため、そのフーリエ変換は素朴には収束しない。$\mathrm{e}^{-\epsilon\left\vert t\right\vert }$ を掛けて $\epsilon\to0^+$ とする正則化で扱う：

$$\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sgn}(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p t}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\int_0^\infty \mathrm{e}^{-(\epsilon+\mathrm{i} p)t}\mathop{}\!\mathrm{d} t -\int_{-\infty}^0 \mathrm{e}^{(\epsilon-\mathrm{i} p)t}\mathop{}\!\mathrm{d} t\right] =\lim_{\epsilon\to0^+}\left[\frac{1}{\epsilon+\mathrm{i} p}-\frac{1}{\epsilon-\mathrm{i} p}\right] =\frac{2}{\mathrm{i} p}.$$

この結果は、逆から読むと次のヒントの公式に他ならない：