代表例題：具体的なフーリエ変換

落とし穴

規約の注意.本書のフーリエ変換は $\mathcal{F}[f](k)=\int f\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\mathop{}\!\mathrm{d} x$（前係数なし）、逆変換に $\frac1{2\pi}$。一方、問題でよく使われるのは対称規約$F(k)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int f\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\mathop{}\!\mathrm{d} x$ を用いる。両者は $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ 倍だけ違う。以下では本書規約で計算し、必要なら対称規約への換算（$\times\frac1{\sqrt{2\pi}}$）を併記する。

落とし穴

この章の要点.周期 $\to\infty$ の極限でフーリエ級数はフーリエ変換になり、離散スペクトル $c_n$ は連続スペクトル $\hat f(\omega)$ に化ける。微分は $\mathrm{i}\omega$ 倍、畳み込みは掛け算になる。この二つが変換の威力の源である。具体的な変換は平方完成（ガウス）・微分則・双対性・部分積分（有限台）で押し切れる。また、デルタ関数・符号関数・主値という道具立ては、次章の逆ラプラス変換でそのまま再利用される。次章では、フーリエ変換に「片側化」と「減衰因子」を加えることでラプラス変換へ橋を架ける。