応用数学入門 第11章 §11.2 ★ 収束座標・最右特異点の意味。概念問題として押さえる背景。
「変換が存在する」とはどういうことか
★ 広義積分の収束＝変換の存在。減衰の有無で決まる。
フーリエ変換もラプラス変換も、無限に伸びた区間にわたる積分（広義積分）で定義されている。広義積分は「途中まで積分した値が、区間を伸ばす極限で有限の値に落ち着く」ときに収束 する、と定義する。落ち着かずに振動し続けたり無限大に膨らんだりすれば発散 であり、そのとき変換は（通常の意味では）存在しない 。つまり「変換が存在する」とは、定義している積分が有限の値に収束することに他ならない 。収束するか否かは、被積分関数が遠方 t → ∞ t\to\infty t → ∞
フーリエ変換の弱点. フーリエ変換の被積分は f ( t ) e − i ω t f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} f ( t ) e − i ω t
∣ f ( t ) e − i ω t ∣ = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ ∣ e − i ω t ∣ = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ 1 = ∣ f ( t ) ∣ \left\vert f(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right\vert =\left\vert f(t)\right\vert \cdot\left\vert \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right\vert =\left\vert f(t)\right\vert \cdot 1=\left\vert f(t)\right\vert f ( t ) e − i ω t = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ e − i ω t = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ 1 = ∣ f ( t ) ∣
という点だ。e − i ω t \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} e − i ω t 絶対値は常に 1 1 1 。振動はしても、被積分を小さくする働きは一切ない。したがって収束のためには f f f 絶対可積分性 ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty}\left\vert f(t)\right\vert \mathop{}\!\mathrm{d} t<\infty ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ 1 1 1 sin t \sin t sin t e a t \mathrm{e}^{at} e a t
ラプラス変換の強み：減衰のツマミ. ラプラス変換の被積分 f ( t ) e − s t f(t)\mathrm{e}^{-st} f ( t ) e − s t s = σ + i τ s=\sigma+\mathrm{i}\tau s = σ + i τ σ = Re s \sigma=\operatorname{Re} s σ = Re s
∣ f ( t ) e − s t ∣ = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ e − σ t ⋅ ∣ e − i τ t ∣ ⏟ = 1 = ∣ f ( t ) ∣ e − σ t . \left\vert f(t)\,\mathrm{e}^{-st}\right\vert =\left\vert f(t)\right\vert \cdot\mathrm{e}^{-\sigma t}\cdot\underbrace{\left\vert \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tau t}\right\vert }_{=1}
=\left\vert f(t)\right\vert \,\mathrm{e}^{-\sigma t}. f ( t ) e − s t = ∣ f ( t ) ∣ ⋅ e − σ t ⋅ = 1 e − i τ t = ∣ f ( t ) ∣ e − σ t .
虚部 i τ \mathrm{i}\tau i τ 実部から e − σ t \mathrm{e}^{-\sigma t} e − σ t 。これが f f f σ \sigma σ
指数位数と収束の横座標
★ Re s > γ \operatorname{Re} s>\gamma Re s > γ
f f f M , γ M,\gamma M , γ t t t
∣ f ( t ) ∣ ≤ M e γ t \left\vert f(t)\right\vert \le M\,\mathrm{e}^{\gamma t} ∣ f ( t ) ∣ ≤ M e γ t
が成り立つとき、f f f 指数位数 γ \gamma γ をもつという（多項式・三角関数・指数関数はすべてこれを満たす）。このとき被積分の大きさは
∣ f ( t ) ∣ e − σ t ≤ M e ( γ − σ ) t \left\vert f(t)\right\vert \,\mathrm{e}^{-\sigma t}\le M\,\mathrm{e}^{(\gamma-\sigma)t} ∣ f ( t ) ∣ e − σ t ≤ M e ( γ − σ ) t
で押さえられ、右辺は指数 γ − σ \gamma-\sigma γ − σ σ > γ \sigma>\gamma σ > γ
Re s = σ > γ ⟹ ラプラス変換は絶対収束する（存在する） \boxed{\ \operatorname{Re} s=\sigma>\gamma\ \Longrightarrow\ \text{ラプラス変換は絶対収束する（存在する）}\ } Re s = σ > γ ⟹ ラプラス変換は絶対収束する（存在する）
この境目の値 γ \gamma γ 収束の横座標（収束座標） という。「横座標」と呼ぶのは、複素 s s s Re s = γ \operatorname{Re} s=\gamma Re s = γ 縦線 を引き、その右半平面 が変換の存在する領域（収束領域 ）になるからである。フーリエ変換が減衰する関数にしか使えなかったのに対し、ラプラス変換は σ \sigma σ 増大する関数まで扱える 。これが両者の実力差の源である。
落とし穴
例で感触をつかむ.
f = 1 f=1 f = 1 σ > 0 \sigma>0 σ > 0 1 / s 1/s 1/ s γ = 0 \gamma=0 γ = 0 f = e a t f=\mathrm{e}^{at} f = e a t a > 0 a>0 a > 0 σ > a \sigma>a σ > a 1 / ( s − a ) 1/(s-a) 1/ ( s − a ) γ = a \gamma=a γ = a f = e − t 2 f=\mathrm{e}^{-t^2} f = e − t 2 すべての s s s γ = − ∞ \gamma=-\infty γ = − ∞ f = e t 2 f=\mathrm{e}^{t^2} f = e t 2 e − σ t \mathrm{e}^{-\sigma t} e − σ t e t 2 − σ t → ∞ \mathrm{e}^{t^2-\sigma t}\to\infty e t 2 − σ t → ∞ 指数位数をもたず、どの s s s 。
なお「存在」には強さの階層がある。ここでは絶対可積分という最も強い意味を扱ったが、正負の打ち消しで収束する条件収束 や、δ \delta δ 超関数の意味での存在 （§2.6 の sgn \operatorname{sgn} sgn
存在は右へ伝播する
★ 一度収束すれば右側でも収束。c c c
重要なのは次の事実である：ある s 0 s_0 s 0 Re s > Re s 0 \operatorname{Re} s>\operatorname{Re} s_0 Re s > Re s 0 。これは上の評価 ∣ f ( t ) ∣ e − σ t ≤ M e ( γ − σ ) t \left\vert f(t)\right\vert \mathrm{e}^{-\sigma t}\le M\mathrm{e}^{(\gamma-\sigma)t} ∣ f ( t ) ∣ e − σ t ≤ M e ( γ − σ ) t σ \sigma σ 収束領域は必ず「ある縦線より右の半平面」という形になる 。
この形が保証されていることには、実用上の大きな御利益がある。逆変換を実行するにはc c c γ \gamma γ f f f f f f c c c
最も右の特異点は何を表すか
★ 特異点＝増大モード。最右特異点が収束領域の左端を決める。
では「十分大きい」とはどこまでか。それを F ( s ) F(s) F ( s ) 特異点 が教えてくれる。鍵となる対応は、F F F f f f 1 s − a \dfrac{1}{s-a} s − a 1 f f f e a t \mathrm{e}^{at} e a t f f f t → ∞ t\to\infty t → ∞ 最も速く増大する項 が支配する。その項の指数こそ、最も右にある特異点の実部である。したがって
γ = max k ( Re s k ) = 最も右の特異点の実部 = f の増大率 . \gamma=\max_k\bigl(\operatorname{Re} s_k\bigr)=\text{最も右の特異点の実部}=f\text{ の増大率}. γ = k max ( Re s k ) = 最も右の特異点の実部 = f の増大率 .
最も右の特異点とは、その関数の「いちばん暴れる成分」の指標 であり、収束領域の左端を決める番人なのである。たとえば f = e t + e 3 t f=\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{3t} f = e t + e 3 t F = 1 s − 1 + 1 s − 3 F=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s-3} F = s − 1 1 + s − 3 1 s = 3 s=3 s = 3 t → ∞ t\to\infty t → ∞ e 3 t \mathrm{e}^{3t} e 3 t γ = 3 \gamma=3 γ = 3 Re s > 3 \operatorname{Re} s>3 Re s > 3 F F F c c c c c c
ブロムウィッチ路の位置：一条件が三つの要請を果たす
★ c c c
以上より、逆変換の縦線は
F ( s ) のすべての特異点 s ∗ が Re s ∗ < c を満たすように c を選ぶ \boxed{\ F(s)\text{ のすべての特異点 } s_\ast \text{ が } \operatorname{Re} s_\ast<c \text{ を満たすように } c \text{ を選ぶ}\ } F ( s ) のすべての特異点 s ∗ が Re s ∗ < c を満たすように c を選ぶ
と定める。この一つの条件が、独立な三つの要請を同時に満たしている ことを確認しておこう。輪郭を閉じるときの鍵は ∣ e s t ∣ = e t Re s \left\vert \mathrm{e}^{st}\right\vert =\mathrm{e}^{t\,\operatorname{Re} s} ∣ e s t ∣ = e t Re s
(i) 逆変換の式がそもそも定義できる（収束領域内にいる）. 逆変換は g ( t ) = f ( t ) Θ ( t ) e − σ t g(t)=f(t)\varTheta (t)\mathrm{e}^{-\sigma t} g ( t ) = f ( t ) Θ ( t ) e − σ t g g g σ = c > γ \sigma=c>\gamma σ = c > γ c c c γ \gamma γ g g g F F F (ii) t < 0 t<0 t < 0 f = 0 f=0 f = 0 t < 0 t<0 t < 0 e t Re s \mathrm{e}^{t\operatorname{Re} s} e t Re s Re s → + ∞ \operatorname{Re} s\to+\infty Re s → + ∞ 右 に閉じる。c c c 0 0 0 f ( t ) = 0 f(t)=0 f ( t ) = 0 f ( t ) ≠ 0 f(t)\neq0 f ( t ) = 0 (iii) t > 0 t>0 t > 0 t > 0 t>0 t > 0 e t Re s \mathrm{e}^{t\operatorname{Re} s} e t Re s Re s → − ∞ \operatorname{Re} s\to-\infty Re s → − ∞ 左 に閉じる。全特異点は左にあるから閉じた輪郭はそれらを漏れなく囲み、f ( t ) = ∑ k Res s = s k [ e s t F ( s ) ] f(t)=\sum_k\operatorname{Res}_{s=s_k}[\mathrm{e}^{st}F(s)] f ( t ) = ∑ k Res s = s k [ e s t F ( s )] f f f
落とし穴
c c c c 1 < c 2 c_1<c_2 c 1 < c 2 移動を止めさせる唯一の障害物が特異点 であり、いちばん右の特異点にぶつかったところが収束領域の左端 γ \gamma γ
ここで注意すべきは、発散するか否かを決めるのは Re s \operatorname{Re} s Re s という点である。∣ e s t ∣ = e σ t \left\vert \mathrm{e}^{st}\right\vert =\mathrm{e}^{\sigma t} ∣ e s t ∣ = e σ t c < γ c<\gamma c < γ Re s \operatorname{Re} s Re s σ \sigma σ g g g
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
