基本変換の導出

$\mathcal{L}[t^n]$ は $\int_0^\infty t^n\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t$ で $u=st$ と置換すると$\frac{1}{s^{n+1}}\int_0^\infty u^n\mathrm{e}^{-u}\mathop{}\!\mathrm{d} u=\frac{n!}{s^{n+1}}$（ガンマ関数 $\Gamma(n+1)=n!$）。非整数 $\nu$ でも同じ置換で $\Gamma(\nu+1)/s^{\nu+1}$ を得る。指数関数は等比積分そのもの。余弦・正弦は $\cos\omega t=\operatorname{Re}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ などから $\mathcal{L}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}]=\frac{1}{s-\mathrm{i}\omega}$ の実部・虚部として読み取れる。