ラプラス変換の諸性質

2026年10月15日2分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第11章ラプラス変換

AI 生成・木下が未勉強

応用数学入門　第11章 §11.4　★★★ 微分則（初期値を取り込む）・ $t$ 倍則（ $-F'$ ）・畳み込み則。ODE 解法の心臓。

定理

定理（主要な性質 ★★★）

(1) 線形性: $\mathcal{L}[\alpha f+\beta g]=\alpha F+\beta G$ .
(2) $s$ -移動（減衰）: $\mathcal{L}[\mathrm{e}^{at}f(t)]=F(s-a)$ .
(3) $t$ -移動: $\mathcal{L}[f(t-a)\varTheta (t-a)]=\mathrm{e}^{-as}F(s)$ 　 $(a>0)$ .
(4) $t$ 倍: $\mathcal{L}[t\,f(t)]=-F'(s)$ 、一般に $\mathcal{L}[t^n f(t)]=(-1)^n F^{(n)}(s)$ .
(5) 微分: $\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)$ 、 $\mathcal{L}[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ .
(6) 積分: $\displaystyle \mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(u)\,\mathop{}\!\mathrm{d} u\right]=\frac{F(s)}{s}$ .
(7) 畳み込み: $\mathcal{L}[f*g]=F(s)\,G(s)$ 、 $\displaystyle (f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,\mathop{}\!\mathrm{d}\tau$ .

落とし穴

性質 (5) と (6) が主役.微分則 $\mathcal{L}[f']=sF-f(0)$ は初期値を自動的に取り込む。だからラプラス変換は初期値問題を解くのに最適である。積分則 (6) は演習 11.3(2) のヒント「 $F(s)/s=\mathcal{L}[\int_0^t f\,\mathop{}\!\mathrm{d} u]$ 」そのもので、逆変換を実行する際の要になる。また性質 (4) は 11.2(3) の $\ln$ 型逆変換で決め手になる。

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連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下智貴

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