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逆変換：留数と分岐点

2026年10月15日4分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第11章 ラプラス変換
目次
  1. の極の位数と、 の冪の対応
  2. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

応用数学入門　第11章 §11.5　★★ 有理関数は部分分数＋表の逆引き。s\sqrt s は分岐点（付録 B・演習 11.3）。

ブロムウィッチ路を左半平面に閉じ、ジョルダンの補題で大半円上の寄与が消えることを使うと、逆変換は留数の和で計算できる（FF が有理関数など、極だけをもつ場合）：

f(t)=12πi∫c−i∞c+i∞estF(s)  ⁣ds=∑kRes⁡s=sk[estF(s)].f(t)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{c-\mathrm{i}\infty}^{c+\mathrm{i}\infty}\mathrm{e}^{st}F(s)\,\mathop{}\!\mathrm{d} s =\sum_{k}\operatorname{Res}_{s=s_k}\Bigl[\mathrm{e}^{st}F(s)\Bigr].

実用上は、有理関数を部分分数分解してから表を逆に引くのが速い（§3.5 以降の例題参照）。一方 FF が s\sqrt{s} や ln⁡s\ln s を含むと、s=0s=0 等が分岐点となり単純な極ではない。このときは分岐切断を避ける鍵穴型（キーホール）積分路を用いる。この技法は付録 B でL−1[e−as]\mathcal{L}^{-1}[\mathrm{e}^{-a\sqrt s}] を求める際に詳述し、演習 11.3 で使う。

F(s)F(s) の極の位数と、tt の冪の対応

★★　位数 m+1m{+}1 の極 →\to tme−λtt^m\mathrm{e}^{-\lambda t}。重根の逆変換が主役になる

有理関数の逆変換では、どこに極があるかが時間波形の減衰率を決め、極の位数がいくつかが tt の多項式の次数を決める。この対応を先に押さえておくと、部分分数分解を実行する前から答の形が読める。

定理

命題 （極の位数と時間波形の対応 ★★）

基本対応は

L[tme−λt](s)=m!(s+λ)m+1(m=0,1,2,… )\mathcal{L}\bigl[t^{m}\mathrm{e}^{-\lambda t}\bigr](s)=\frac{m!}{(s+\lambda)^{m+1}} \qquad(m=0,1,2,\dots)

である。これを逆に読むと、F(s)F(s) が s=−λs=-\lambda にm+1m+1 位の極をもつとき、逆変換 f(t)f(t) には

e−λt,t e−λt,…,tme−λt\mathrm{e}^{-\lambda t},\quad t\,\mathrm{e}^{-\lambda t},\quad \dots,\quad t^{m}\mathrm{e}^{-\lambda t}

までの項が現れる（最高次は tmt^{m}）。すなわち（極の位数）==（tt の最高次）+1+1。

落とし穴

位数はどこから上がるか：特性根と外力の重なり（共鳴）。定数係数の線形 ODE (∑kak ⁣dk ⁣dtk)f=g\bigl(\sum_k a_k\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}^k}{\mathop{}\!\mathrm{d} t^k}\bigr)f=g をラプラス変換すると

P(s) F(s)=(初期値の多項式)+G(s),P(s)=∑kakskP(s)\,F(s)=(\text{初期値の多項式})+G(s),\qquad P(s)=\sum_k a_k s^{k}

となり、F(s)=(初期値の多項式)+G(s)P(s)F(s)=\dfrac{(\text{初期値の多項式})+G(s)}{P(s)} の極は次の二つの源から生じる。

  • (1) 特性多項式 P(s)P(s) の根（系そのものの固有モード）。PP が重根をもてば、その時点で位数は上がる。
  • (2) 外力 G(s)G(s) の極（押し方に由来するモード）。

この二つが同じ点に重なると位数が足し算され、tt の冪が一段上がる。これが共鳴であり、現れる tme−λtt^{m}\mathrm{e}^{-\lambda t} の tt の因子を永年項と呼ぶ。たとえば P(s)=(s+1)2P(s)=(s+1)^2（重根 −1-1）の系を g(t)=2e−tg(t)=2\mathrm{e}^{-t}（GG の極も s=−1s=-1）で押すと、FF の極は (s+1)3(s+1)^{3} の 3 位となり t2e−tt^{2}\mathrm{e}^{-t} が生まれる（§4.1 の例題を参照）。外力を g(t)=e−2tg(t)=\mathrm{e}^{-2t} に替えれば極は s=−2s=-2（1 位）と s=−1s=-1（2 位）に分かれ、位数は上がらないので t2t^{2} の項は現れない。なお Re⁡λ>0\operatorname{Re}\lambda>0 である限り tme−λt→0t^{m}\mathrm{e}^{-\lambda t}\to0（t→∞t\to\infty）なので、共鳴しても発散はしない。指数の減衰が多項式の増大に勝つからで、発散するのは減衰がない場合（λ\lambda が純虚数）に限られる。

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