演習 11.1：関数のラプラス変換

基本表 $\mathcal{L}[t^n]=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ に $n=3$ を入れて

$$\mathcal{L}[t^3]=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}\qquad(\operatorname{Re} s>0).$$

念のため直接計算すると、$u=st$ の置換で$\int_0^\infty t^3\mathrm{e}^{-st}\mathop{}\!\mathrm{d} t=\frac{1}{s^4}\int_0^\infty u^3\mathrm{e}^{-u}\mathop{}\!\mathrm{d} u=\frac{\Gamma(4)}{s^4}=\frac{6}{s^4}$。

$\cos\pi t=\operatorname{Re}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi t}$ であり、$\mathcal{L}[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi t}]=\dfrac{1}{s-\mathrm{i}\pi} =\dfrac{s+\mathrm{i}\pi}{s^2+\pi^2}$。その実部をとって

$$\mathcal{L}[\cos\pi t]=\frac{s}{s^2+\pi^2}\qquad(\operatorname{Re} s>0).$$

（基本表 $\mathcal{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2}$ で $\omega=\pi$ としても同じ。）

直接積分するより、微分してから微分則 (5) を使うのが見通しがよい。合成関数の微分と微積分学の基本定理により

$$f'(t)=\frac{2}{\sqrt\pi}\,\mathrm{e}^{-(\sqrt t)^2}\cdot\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d} t}\sqrt t =\frac{2}{\sqrt\pi}\,\mathrm{e}^{-t}\cdot\frac{1}{2\sqrt t} =\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\,\mathrm{e}^{-t}.$$

まず $\mathcal{L}[t^{-1/2}]=\dfrac{\Gamma(1/2)}{s^{1/2}}=\dfrac{\sqrt\pi}{\sqrt s}$（$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$）。これに $s$-移動則 (2)（$\mathrm{e}^{-t}$ 倍 $\Rightarrow s\to s+1$）を施すと

$$\mathcal{L}[f'(t)]=\frac{1}{\sqrt\pi}\,\mathcal{L}\!\left[t^{-1/2}\mathrm{e}^{-t}\right] =\frac{1}{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt\pi}{\sqrt{s+1}}=\frac{1}{\sqrt{s+1}}.$$

一方、微分則より $\mathcal{L}[f']=sF(s)-f(0)$ であり $f(0)=\operatorname{erf}(0)=0$ だから $sF(s)=\dfrac{1}{\sqrt{s+1}}$。ゆえに

$$\mathcal{L}[\operatorname{erf}(\sqrt t)]=\frac{1}{s\sqrt{s+1}}\qquad(\operatorname{Re} s>0).$$

$\left\lfloor t \right\rfloor$ は各区間 $[n,n+1)$ で定数 $n$ をとる階段関数。区間ごとに積分を分けると

$$F(s)=\int_0^\infty \left\lfloor t \right\rfloor \,\mathrm{e}^{-st}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sum_{n=0}^{\infty} n\int_n^{n+1}\mathrm{e}^{-st}\,\mathop{}\!\mathrm{d} t =\sum_{n=0}^{\infty} n\cdot\frac{\mathrm{e}^{-ns}-\mathrm{e}^{-(n+1)s}}{s} =\frac{1-\mathrm{e}^{-s}}{s}\sum_{n=0}^{\infty} n\,\mathrm{e}^{-ns}.$$

等比級数の微分公式 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}$（$\left\vert x\right\vert <1$）を$x=\mathrm{e}^{-s}$ に用いると $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n\,\mathrm{e}^{-ns}=\frac{\mathrm{e}^{-s}}{(1-\mathrm{e}^{-s})^2}$。よって

$$F(s)=\frac{1-\mathrm{e}^{-s}}{s}\cdot\frac{\mathrm{e}^{-s}}{(1-\mathrm{e}^{-s})^2} =\frac{\mathrm{e}^{-s}}{s\,(1-\mathrm{e}^{-s})} =\frac{1}{s\,(\mathrm{e}^{s}-1)}\qquad(\operatorname{Re} s>0).$$

最後は分子・分母に $\mathrm{e}^{s}$ を掛けた。$\mathrm{e}^s-1\approx s$（$s\to0$）なので $F\sim 1/s^2$ となり、「$\left\lfloor t \right\rfloor \approx t$」に対応する $\mathcal{L}[t]=1/s^2$ と整合している。これはよい検算になる。