演習 11.2：逆ラプラス変換

部分分数分解 $\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}$。$s=A(s+2)+B(s+1)$ で $s=-1$ とすると $A=-1$、$s=-2$ とすると $B=2$。ゆえに

$$\frac{s}{(s+1)(s+2)}=\frac{-1}{s+1}+\frac{2}{s+2} \;\xrightarrow{\ \mathcal{L}^{-1}\ }\; f(t)=-\mathrm{e}^{-t}+2\mathrm{e}^{-2t}\qquad(t>0).$$

（各項に $\mathcal{L}^{-1}[1/(s-a)]=\mathrm{e}^{at}$ を適用した。）

$s=0$ が二位の極なので $\dfrac{1}{s^2(s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{B}{s^2}+\dfrac{C}{s+2}$ とおく。$1=As(s+2)+B(s+2)+Cs^2$ において

$$s=0:\ 1=2B\Rightarrow B=\tfrac12,\qquad s=-2:\ 1=4C\Rightarrow C=\tfrac14,\qquad s^2\text{ の係数}:\ 0=A+C\Rightarrow A=-\tfrac14.$$

したがって

$$\frac{1}{s^2(s+2)}=-\frac{1}{4s}+\frac{1}{2s^2}+\frac{1}{4(s+2)} \;\xrightarrow{\ \mathcal{L}^{-1}\ }\; f(t)=-\frac14+\frac{t}{2}+\frac14\mathrm{e}^{-2t}=\frac{1}{4}\bigl(2t-1+\mathrm{e}^{-2t}\bigr).$$

（$\mathcal{L}^{-1}[1/s]=1,\ \mathcal{L}^{-1}[1/s^2]=t$ を用いた。）

$F(s)=\ln(s+a)-\ln(s+b)$ は対数を含み、そのままでは表にない。そこで性質 (4)「$\mathcal{L}[t f(t)]=-F'(s)$」を逆向きに使うのがうまい。$F$ を $s$ で微分すると

$$F'(s)=\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}.$$

右辺は基本表で逆変換でき、$\mathcal{L}^{-1}[F'(s)]=\mathrm{e}^{-at}-\mathrm{e}^{-bt}$。一方 $\mathcal{L}^{-1}[F'(s)]=-t\,f(t)$（性質 (4) の逆）だから

$$-t\,f(t)=\mathrm{e}^{-at}-\mathrm{e}^{-bt} \quad\Longrightarrow\quad f(t)=\frac{\mathrm{e}^{-bt}-\mathrm{e}^{-at}}{t}\qquad(t>0).$$

$0<a<b$ より $\mathrm{e}^{-bt}<\mathrm{e}^{-at}$ なので $f(t)<0$。また $t\to0^+$ で$f(t)\to a-b<0$（ロピタル）と有限に留まり、$F(\infty)=0$ とも整合する。