tecktom.com

常微分方程式の解法

2026年10月15日1分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第12章 応用：微分方程式と熱伝導

AI 生成・木下が未勉強

応用数学入門　第12章 §12.1　★★★ 「変換 →\to 代数 →\to 逆変換」の三段。微分則が初期条件を自動で取り込む。

ラプラス変換の真価は微分方程式を解くときに現れる。微分則が微分を代数演算に変えるので、「変換 →\to 代数的に解く →\to 逆変換」の三段で答えが出る。まず常微分方程式で流れをつかみ、次に偏微分方程式（熱伝導）へ進んで演習 11.3 を解く。

方針は単純である。

  • Step 1. 方程式の両辺をラプラス変換する。微分則により初期条件が自動的に式へ入る。
  • Step 2. F(s)F(s) について代数的に解く（ただの割り算）。
  • Step 3. 部分分数分解して逆変換し、f(t)f(t) を得る。

例題 4.1（減衰振動（過減衰） ★★★）

オリジナルf′′+3f′+2f=0f''+3f'+2f=0、f(0)=1, f′(0)=0f(0)=1,\ f'(0)=0 を解け。

解答

両辺を変換。L[f′′]=s2F−sf(0)−f′(0)=s2F−s\mathcal{L}[f'']=s^2F-sf(0)-f'(0)=s^2F-s、L[f′]=sF−f(0)=sF−1\mathcal{L}[f']=sF-f(0)=sF-1。よって

(s2F−s)+3(sF−1)+2F=0 ⟹ (s2+3s+2)F=s+3 ⟹ F=s+3(s+1)(s+2).(s^2F-s)+3(sF-1)+2F=0\ \Longrightarrow\ (s^2+3s+2)F=s+3 \ \Longrightarrow\ F=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.

部分分数分解 F=2s+1−1s+2F=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2} を逆変換して

f(t)=2e−t−e−2t.f(t)=2\mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{-2t}.

（f(0)=2−1=1f(0)=2-1=1、f′(0)=−2+2=0f'(0)=-2+2=0 と初期条件を満たす。）

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
← AI生成教科書『基礎理論』の記事一覧へ