出てくるもの（1）：Seidel の5つの収差

光学と量子エレクトロニクス　第3章 §3.3　★★★ 収差関数の6つの係数のうち5つが、球面収差・コマ・非点収差・像面湾曲・歪曲になる。コマの像の3対1は正準変換の帰結

収差関数の6つの係数

収差関数 $W$ は4次の $H_4$ を近軸の光線に沿って積分したもので、近軸の流れ (3.6) は回転と鏡映を保つので、$W$ も同じ対称性を持つ。したがって $W$ は物体面の値で作った3つの不変量 $U=\lvert \bm{X}_0\rvert ^2$, $V=\bm{X}_0\cdot\bm{P}_0$, $Q=\lvert \bm{P}_0\rvert ^2$ の2次式である：

$$W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)=w_1Q^2+w_2QV+w_3V^2+w_4UQ+w_5UV+w_6U^2 .\tag{3.11}$$

$\bm{P}_0$ で微分すると（$\partial U/\partial\bm{P}_0=0$, $\partial V/\partial\bm{P}_0=\bm{X}_0$, $\partial Q/\partial\bm{P}_0=2\bm{P}_0$）

$$\frac{\partial W}{\partial \bm{P}_0}=\underbrace{4w_1Q\,\bm{P}_0}_{\text{球面収差}} +\underbrace{w_2\bigl(2V\bm{P}_0+Q\bm{X}_0\bigr)}_{\text{コマ}} +\underbrace{2w_3V\bm{X}_0}_{\text{非点収差}} +\underbrace{2w_4U\bm{P}_0}_{\text{像面湾曲}} +\underbrace{w_5U\bm{X}_0}_{\text{歪曲}}\tag{3.12}$$

となり、$w_6U^2$ は $\bm{P}_0$ を含まないので消える。$w_6$ は光路長を光線によらない量だけずらすだけで、像には現れない。残った5つの項が Seidel の5収差である（3次の範囲で分類した L. Seidel の名を冠する）。各項の名前と、像の上でのずれの形を、物体の点を $\bm{X}_0=(h,0)$（$x$ 軸の上、高さ $h$）、光線の向きを $\bm{P}_0=\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)$ と書いて順に見る。$\rho$ は光線の傾き（屈折率を掛けたもの）で、レンズの開口のどこを通るかを決め、$\varphi$ はその方位角である。

5つの収差の形

球面収差（$w_1$）。ずれは $4Aw_1\rho^3(\cos\varphi,\sin\varphi)$ で、物体の高さ $h$ によらず、光軸の上の点にも現れる。開口の縁を通る光線（$\rho$ が大きい）ほど大きくずれ、ずれの向きは光線の向き $\bm{P}_0$ と同じなので、像面の前後で光線が光軸を横切る位置が $\rho$ によって変わる。像面をわずかに $\delta z$ だけずらすと、光線は $\delta z\,\bm{p}_{\mathrm i}/n_{\mathrm i}=\delta z\,D\bm{P}_0/n_{\mathrm i}$ だけ動く（$n_{\mathrm i}$ は像の側の屈折率、$B=0$ では $D=1/A$）。これが球面収差のずれを打ち消す $\delta z$ が、その光線が光軸を横切る位置で、

$$\delta z(\rho)=-4w_1A^2n_{\mathrm i}\,\rho^2\tag{3.13}$$

になる。光軸を横切る位置が $\rho^2$ に比例して動くことを縦の球面収差と呼ぶ。

コマ（$w_2$）。ずれは

$$Aw_2h\rho^2\bigl(2\cos\varphi\,(\cos\varphi,\sin\varphi)+(1,0)\bigr)=Aw_2h\rho^2\bigl(2+\cos2\varphi,\ \sin2\varphi\bigr)$$

で、$\varphi$ を $0$ から $2\pi$ まで回すと、中心 $(2Aw_2h\rho^2,0)$、半径 $\lvert Aw_2h\rho^2\rvert$ の円を2周する。子午面の光線（$\varphi=0$）は $3Aw_2h\rho^2$ に、球欠面の光線（$\varphi=\pm\pi/2$）は $Aw_2h\rho^2$ に着き、この2つをそれぞれ子午のコマ・球欠のコマと呼ぶ。$\rho$ ごとに半径が $\rho^2$ に比例した円が、近軸の像点から $x$ 軸の向きにずれて並び、全体として彗星の尾のような形になる（図 3.1）。名前はこの形（coma、彗星の頭）に由来する。

非点収差（$w_3$）。ずれは $2Aw_3h^2\rho\cos\varphi\,(1,0)$ で、$\rho$ の1次なので焦点のずれ（デフォーカス）と同じ形だが、$x$ の向き（物体の点と光軸を含む面、子午面）の成分しか持たない。子午面の中の光線（$\varphi=0,\pi$）とそれに垂直な面の中の光線（球欠面、$\varphi=\pm\pi/2$）で焦点の位置が違う。

像面湾曲（$w_4$）。ずれは $2Aw_4h^2\rho(\cos\varphi,\sin\varphi)$ で、向きによらないデフォーカスである。式 (3.13) と同じ考え方で、高さ $h$ の物体の点の像は $\delta z=-2w_4A^2n_{\mathrm i}h^2$ だけ光軸の向きにずれた所に結ぶ。平らな物体の像が、$h^2$ に比例して反った曲面の上にできる。$w_3$ と合わせると、子午面の光線の焦点は $\delta z_{\mathrm t}=-2(w_3+w_4)A^2n_{\mathrm i}h^2$、球欠面の光線の焦点は $\delta z_{\mathrm s}=-2w_4A^2n_{\mathrm i}h^2$ で、2つの焦点の面の差が非点収差、2つの面がそろっても残る反りが像面湾曲である。

歪曲（$w_5$）。ずれは $Aw_5h^3(1,0)$ で、$\rho$ によらない。像はぼけずに1点に結ぶが、その位置が $A h(1+w_5h^2)$ で、倍率が物体の高さによって変わる。$Aw_5$ と $A$ が同じ符号（$w_5>0$）なら外側ほど倍率が大きく、正方形の格子が糸巻き形に、$w_5<0$ なら樽形にゆがむ。

コマの 3 対 1 は正準変換の帰結

ずれのベクトルを $\bm{X}_0$ と $\bm{P}_0$ の3次の式で回転と鏡映に対して共変なものとして一般に書くと、

$$\Delta\bm{x}_{\mathrm i}=\bm{P}_0\,(c_1Q+c_2V+c_3U)+\bm{X}_0\,(c_4Q+c_5V+c_6U)$$

の6つの係数 $c_1,\dots,c_6$ がある。$h$ と $\rho^2$ に比例する項（コマの形）は $c_2V\bm{P}_0$ と $c_4Q\bm{X}_0$ の2つで、一般にはこの2つは独立である。ところが定理 3.2 の形 $A\,\partial W/\partial\bm{P}_0$ では、式 (3.12) のとおり $c_2=2Aw_2$, $c_4=Aw_2$ で、$c_2=2c_4$ に縛られる。6つの係数が5つの $w_1,\dots,w_5$ で決まり、関係が1つ増えている。この関係のために、コマの円の中心は半径のちょうど2倍の位置に来て、子午のコマと球欠のコマの比は $3:1$ になる。光学系がどんな面とどんなガラスでできていても、3次のコマの像の形は相似で、大きさ $w_2$ だけが系によって変わる。光線の流れが正準変換であるために、収差の形に関係が1つ加わる。