出てくるもの（2）：球面収差を光線追跡で確かめ、非球面で消す

$R=1$ の単位で書く。$\sin\theta_1=h$, $\sin\theta_2=h/n$ なので

$$\sin(\theta_1-\theta_2)=h\sqrt{1-h^2/n^2}-\frac hn\sqrt{1-h^2},\qquad L=1+\frac{1/n}{\sqrt{1-h^2/n^2}-\sqrt{1-h^2}/n}.$$

分母を2次まで展開すると $\bigl(1-\frac{h^2}{2n^2}\bigr)-\frac1n\bigl(1-\frac{h^2}{2}\bigr)=\frac{n-1}{n}\Bigl(1+\frac{h^2}{2n}\Bigr)$ なので

$$L=1+\frac{1}{n-1}\Bigl(1-\frac{h^2}{2n}\Bigr)=\frac{n}{n-1}-\frac{h^2}{2n(n-1)} .$$

$R$ を戻すと与式になる。$n=1.5$, $R=10\,\mathrm{mm}$ では $L_0=30\,\mathrm{mm}$、2次の係数は $-1/15\,\mathrm{mm^{-1}}$ で、$h=3\,\mathrm{mm}$ では3次の範囲で $L-L_0=-0.600\,\mathrm{mm}$、厳密に $-0.611\,\mathrm{mm}$、$h=5\,\mathrm{mm}$ では $-1.667\,\mathrm{mm}$ と $-1.758\,\mathrm{mm}$ である。差は $h^4$ に比例して増え（5次収差）、開口の半径が $R$ の半分になると3次の式は5パーセントずれる。

近軸の焦点面（$z=L_0$）で見た横のずれは、縦のずれに光線の傾き $\tan(\theta_1-\theta_2)\approx h/L_0$ を掛けたもので、3次の範囲で大きさ $h^3/(2n(n-1)RL_0)$、$h=3\,\mathrm{mm}$ で $0.060\,\mathrm{mm}$（厳密に $0.063\,\mathrm{mm}$）である。横のずれが $h^3$ に比例することが「3次」収差の名の意味である。

(1) $r^2=b^2(1-z^2/a^2)=(a^2-z^2)(1-e^2)$ なので$(z-ae)^2+r^2=z^2-2aez+a^2e^2+a^2-z^2-a^2e^2+e^2z^2=(a-ez)^2$。$\lvert z\rvert \le a$, $e<1$ なので距離は $a-ez$。

(2) 光路長は空気中の $z-(-a)=z+a$ とガラス中の $n(a-ez)$ の和で、$ne=1$ なら $z+a+na-z=(1+n)a$ となり、面の上の点によらない。平面 $z=-a$ は入ってくる平行光の波面で、そこから $F$ までの光路長がどの光線でも等しいので、どの光線も $F$ に同じ位相で着く。Fermat の原理の言葉では、$F$ に向かう光線の族のどれもが光路長を停留させ、近くの経路との差が恒等的に $0$ なので、光線は高さ $h$ によらず $F$ を通る。

(3) 頂点 $z=-a$ の近くで $z=-a+r^2/(2R)+\dots$ と書くと、楕円の式から $R=b^2/a=a(1-e^2)$。楕円を頂点を原点とする式 (3.15) の形に書き直すと円錐定数は $\kappa=-e^2$ で、$e=1/n$ なら $\kappa=-1/n^2$。式 (3.16) の係数 $1+\kappa n^2$ がちょうど $0$ になり、3次の範囲の結果と一致する。