当てる道具：近軸の流れを基準にした相互作用描像

光学と量子エレクトロニクス　第3章 §3.2　★★★ 近軸の流れで物体面へ引き戻した変数で見ると、4次の項の効果は1つの関数の微分で書け、像の上のずれは $A\,\partial W/\partial\bm{P}$ になる

物体面へ引き戻した変数

$H=H_2+H_4$ とし（定数 $H_0$ は落とす）、$H_2$ だけで決まる流れ（近軸の流れ）を $z_0$ から $z$ までの $4\times4$ の線形写像 $M(z)$ で書く。回転対称な系では $x$ と $y$ が混ざらないので、$M(z)$ は各成分に同じ ABCD 行列を当てたものである：

$$\bm{x}=A(z)\bm{X}+B(z)\bm{P},\qquad \bm{p}=C(z)\bm{X}+D(z)\bm{P},\qquad A D-B C=1 .\tag{3.6}$$

ここで $(\bm{X},\bm{P})$ は、ある時刻 $z$ の光線 $(\bm{x},\bm{p})$ を近軸の流れで物体面 $z_0$ まで引き戻した値である。$H_4$ が無ければ $(\bm{X},\bm{P})$ は $z$ によらない定数で、物体面での光線の値そのものになる。$H_4$ があると $(\bm{X},\bm{P})$ はゆっくり変わる。その変わり方が収差である。

量子力学で $\hat H=\hat H_0+\hat V$ の $\hat H_0$ による時間発展を状態から取り除いて相互作用描像に移るのと同じ操作を、古典の光線にも当てる。

1次の摂動と収差関数

$K$ は $\bm{X}$, $\bm{P}$ の4次なので、$(\bm{X},\bm{P})$ の変化は $(\bm{X},\bm{P})$ の3次で小さい。そこで Hamilton 方程式の右辺を物体面の値 $(\bm{X}_0,\bm{P}_0)$ で評価し、$z_0$ から像面 $z_{\mathrm i}$ まで積分する。これが1次の摂動で、無視したのは5次以上の項である：

$$\Delta\bm{X}=\int_{z_0}^{z_{\mathrm i}}\frac{\partial K}{\partial \bm{P}}\,\mathrm{d} z=\frac{\partial W}{\partial \bm{P}_0},\qquad \Delta\bm{P}=-\int_{z_0}^{z_{\mathrm i}}\frac{\partial K}{\partial \bm{X}}\,\mathrm{d} z=-\frac{\partial W}{\partial \bm{X}_0},\tag{3.8}$$

$$W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)=\int_{z_0}^{z_{\mathrm i}}H_4\bigl(\bm{x}_{\mathrm{par}}(z),\bm{p}_{\mathrm{par}}(z);z\bigr)\,\mathrm{d} z .\tag{3.9}$$

$\bm{x}_{\mathrm{par}}(z)=A(z)\bm{X}_0+B(z)\bm{P}_0$ は物体面の値から出発した近軸の光線である。$W$ を収差関数と呼ぶ（この章での呼び名。近軸の光線に沿って4次の Hamiltonian を積分したもの）。$W$ は4次の項を積分したもので、Hamilton の特性関数（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章）の4次の部分に当たる。記法の正本で $W$ は仕事や特性関数 $W(q)$ に使われるので、この章では収差関数を必ず引数つきで $W(\bm{X}_0,\bm{P}_0)$ と書く。

定理 3.2 の要点は、像の上のずれ（2成分のベクトル）が、1つのスカラー関数 $W$ の $\bm{P}_0$ についての勾配になっていることである。ずれを勝手な3次のベクトル関数とした場合より、許される形が少ない。この制限は流れが正準変換であることの帰結で、3.3節でコマの形に表れる。同じ式で $A=0$ の面（平行光が集まる焦点面）を見るときは、$\bm{x}=B\bm{P}$ なので $\Delta\bm{x}=-B\,\partial W/\partial\bm{X}_0$ になる。