この章で作る道具：新しい Hamiltonian を $0$ にする正準変換

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第13章 §1.13.1　★★★ $K\equiv0$ となる母関数を探す条件が Hamilton–Jacobi 方程式。解が見つかれば、運動は微分だけで取り出せる

前の章（第1部第12章）では、時間発展そのものが正準変換の連続であることから入り、母関数で正準変換を作る方法を見た。この章では、その母関数を1つの目的に使う。新しい変数 $(Q,P)$ での Hamiltonian $K$ が恒等的に $0$ になるように母関数を選べば、新しい変数の Hamilton 方程式は $\dot Q=\dot P=0$ となり、新しい変数はすべて定数になる。運動を解く問題は、そのような母関数を見つける問題に置き換わる。母関数が満たすべき条件を書き下すと、1本の偏微分方程式

$$H\Bigl(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\Bigr)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$$

が出る。これが Hamilton–Jacobi 方程式で、未知関数 $S(q,t)$ を Hamilton の主関数と呼ぶ。

この章で作る道具と出てくるものは次のとおりである。1.13.1節で上の方程式を母関数の条件として導き、その解から運動を取り出す手順（Jacobi の定理）を示す。1.13.2節では同じ $S$ を別の側から作る。真の経路に沿った作用を終点の関数とみなすと、それが Hamilton–Jacobi 方程式を満たし、しかも時間発展という正準変換の母関数になっている。1.13.3節から1.13.5節が「出てくるもの」で、時間を分離した特性関数 $W(q)$ による1次元の運動、中心力の変数分離による Kepler の軌道、そして $S$ を波の位相とみなす見方（作用の波面・特性曲線・Schrödinger 方程式の古典極限）を順に扱う。1.13.6節では、エネルギー保存から時間を積分で出す学部の解き方、WKB 近似の公式が、この章の式のどこにあたるかを並べる。

母関数への条件

自由度 $f$ の系を一般化座標 $q=(q_1,\dots,q_f)$ と正準運動量 $p=(p_1,\dots,p_f)$ で書き、Hamiltonian を $H(q,p,t)$ とする。前の章で、旧い座標 $q$ と新しい運動量 $P$ を引数にとる母関数 $F_2(q,P,t)$ から

$$p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i},\qquad Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i},\qquad K=H+\frac{\partial F_2}{\partial t}\tag{1.13.1}$$

によって正準変換 $(q,p)\to(Q,P)$ が作れることを見た。新しい変数の時間発展は新しい Hamiltonian $K$ の Hamilton 方程式 $\dot Q_i=\partial K/\partial P_i$, $\dot P_i=-\partial K/\partial Q_i$ に従う。

ここで $K\equiv0$ となる $F_2$ を選べたとする。右辺がどちらも $0$ なので $\dot Q_i=\dot P_i=0$ で、$2f$ 個の新しい変数はすべて定数になる。新しい運動量の値を $P_i=\alpha_i$、新しい座標の値を $Q_i=\beta_i$ と書くと、式 (1.13.1) の2番目の式 $\beta_i=\partial F_2/\partial\alpha_i$ は$q$ と $t$ と $2f$ 個の定数の関係になり、これを $q$ について解いたものが運動 $q(t)$ である。$K\equiv0$ の条件は、式 (1.13.1) の1番目の式で $p$ を $\partial F_2/\partial q$ に置き換えると

$$H\Bigl(q_1,\dots,q_f,\ \frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_f},\ t\Bigr)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\tag{1.13.2}$$

になる。ここで $F_2$ を $S(q,\alpha,t)$ と書き直した。式 (1.13.2) を Hamilton–Jacobi 方程式、その解 $S$ を Hamilton の主関数と呼ぶ。$S$ は $q$ と $t$ の関数として引数つきで書き、作用汎関数 $S[q]$（角括弧）と区別する。両者の関係は1.13.2節で明らかになる。

式 (1.13.2) は $f+1$ 個の変数 $(q,t)$ についての1階の偏微分方程式で、未知関数 $S$ の微分について一般に非線型である。$2f$ 本の連立常微分方程式（Hamilton 方程式）を、1本の偏微分方程式に置き換えたことになる。偏微分方程式を解くほうが易しいとは限らないが、変数が分離できる系（1.13.3節・1.13.4節）では、積分を並べるだけで運動が求まる。

完全解と Jacobi の定理

偏微分方程式には解がいくらでもあるので、運動を取り出すにはどのような解が要るかを決めておく。

条件 (1.13.3) は、$f$ 個の定数が互いに独立に $S$ の $q$ 依存性に入っていることを表す。これが成り立てば、$\beta_i=\partial S/\partial\alpha_i$ を $q$ について解くことができる（陰関数定理）。

証明

$K\equiv0$ の正準変換として前の章の結果から従うが、ここでは式 (1.13.2) だけを使って直接確かめる。$q(t)$ に沿って $\partial S/\partial\alpha_i$ が一定なので、その時間微分は

$$0=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\frac{\partial^2S}{\partial t\,\partial\alpha_i}+\sum_j\frac{\partial^2S}{\partial q_j\,\partial\alpha_i}\dot q_j .$$

一方、式 (1.13.2) は $\alpha$ の値によらず恒等的に成り立つので、$\alpha_i$ で微分してよく、連鎖律から

$$\frac{\partial^2S}{\partial t\,\partial\alpha_i}+\sum_j\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial^2S}{\partial q_j\,\partial\alpha_i}=0$$

を得る（$\partial H/\partial p_j$ は $p=\partial S/\partial q$ で評価する）。2式を引くと $\sum_j\bigl(\partial^2S/\partial q_j\partial\alpha_i\bigr)\bigl(\dot q_j-\partial H/\partial p_j\bigr)=0$ で、条件 (1.13.3) から $\dot q_j=\partial H/\partial p_j$ が従う。

次に $p_i(t)=\partial S/\partial q_i$ を時間で微分すると $\dot p_i=\partial^2S/\partial t\partial q_i+\sum_j(\partial^2S/\partial q_j\partial q_i)\dot q_j$ である。式 (1.13.2) を $q_i$ で微分すると、$H$ は $q_i$ に直接と $p=\partial S/\partial q$ を通しての2通りで依存するので

$$\frac{\partial^2S}{\partial t\,\partial q_i}+\frac{\partial H}{\partial q_i}+\sum_j\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial^2S}{\partial q_j\,\partial q_i}=0 .$$

いま示した $\dot q_j=\partial H/\partial p_j$ を使って2式を比べると $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ を得る。最後に、任意の初期値 $(q(t_0),p(t_0))$ に対して、$p(t_0)=\partial S/\partial q$ を満たす $\alpha$ が選べれば（条件 (1.13.3) がその点の近くでこれを保証する）、$\beta$ は $\beta_i=\partial S/\partial\alpha_i$ で決まり、その初期値を通る解が得られる。

定理の手順は、微分方程式を解く操作を一切含まない。完全解が手に入れば、あとは偏微分と代数方程式だけで運動が決まる。手間はすべて、完全解を見つける段階にある。