出てくるもの：中心力の変数分離と Kepler の軌道

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第13章 §1.13.4　★★ 極座標で $W$ が3つの和に分かれ、分離の定数が角運動量になる。軌道の式は $\partial W/\partial\alpha_\varphi=\beta_\varphi$ から積分1つで出る

極座標での分離

質量 $m$ の粒子が中心力のポテンシャル $V(r)$ の中を運動する。球座標 $(r,\theta,\varphi)$ での Hamiltonian は

$$H=\frac{1}{2m}\Bigl(p_r^2+\frac{p_\theta^2}{r^2}+\frac{p_\varphi^2}{r^2\sin^2\theta}\Bigr)+V(r)$$

である。$\varphi$ は $H$ に現れない循環座標なので、$W=W_r(r)+W_\theta(\theta)+\alpha_\varphi\varphi$ と置く。時間に依らない Hamilton–Jacobi 方程式に $2mr^2$ を掛けて並べ替えると

$$r^2\Bigl(\frac{\mathrm{d} W_r}{\mathrm{d} r}\Bigr)^2+2mr^2\bigl(V(r)-E\bigr)=-\Bigl(\frac{\mathrm{d} W_\theta}{\mathrm{d} \theta}\Bigr)^2-\frac{\alpha_\varphi^2}{\sin^2\theta}$$

となる。左辺は $r$ だけ、右辺は $\theta$ だけの関数なので、両辺は定数で、その値を $-\alpha_\theta^2$ と書くと

$$\Bigl(\frac{\mathrm{d} W_\theta}{\mathrm{d} \theta}\Bigr)^2+\frac{\alpha_\varphi^2}{\sin^2\theta}=\alpha_\theta^2,\qquad \Bigl(\frac{\mathrm{d} W_r}{\mathrm{d} r}\Bigr)^2+\frac{\alpha_\theta^2}{r^2}=2m\bigl(E-V(r)\bigr)\tag{1.13.14}$$

の2本の常微分方程式に分かれる。分離の定数の意味は、$p_\varphi=\partial W/\partial\varphi=\alpha_\varphi$ が角運動量の $z$ 成分、$p_\theta^2+p_\varphi^2/\sin^2\theta=\alpha_\theta^2$ が角運動量の大きさの2乗である。分離の定数として、回転対称性に対応する保存量が現れた。

角運動量の向きを $z$ 軸に選ぶと運動は $\theta=\pi/2$ の平面に限られ、$\alpha_\theta=\lvert \alpha_\varphi\rvert$ となる。以下は平面の極座標 $(r,\varphi)$ で書き、$\alpha_\varphi>0$ とする。特性関数は

$$W(r,\varphi)=\alpha_\varphi\varphi+\int^r\sqrt{2m\bigl(E-V(r')\bigr)-\frac{\alpha_\varphi^2}{r'^2}}\,\mathrm{d} r'\tag{1.13.15}$$

である。根号の中の $V(r)+\alpha_\varphi^2/(2mr^2)$ は、動径の運動だけを見たときの有効ポテンシャルにあたる。

軌道の式

Jacobi の定理を $\alpha_\varphi$ に当てると、$\partial W/\partial\alpha_\varphi=\beta_\varphi$ から

$$\varphi-\int^r\frac{\alpha_\varphi\,\mathrm{d} r'}{r'^2\sqrt{2m(E-V(r'))-\alpha_\varphi^2/r'^2}}=\beta_\varphi\tag{1.13.16}$$

を得る。時刻を含まない $r$ と $\varphi$ の関係なので、これが軌道の式である。時刻との関係は $E$ についての式 $\partial W/\partial E=t+\beta_E$ から出る。

Kepler 問題 $V(r)=-k/r$（$k>0$）では、$u=1/r$ と置くと $\mathrm{d} r/r^2=-\mathrm{d} u$ で、積分は

$$-\int^r\frac{\alpha_\varphi\,\mathrm{d} r'}{r'^2\sqrt{\cdots}}=\int^u\frac{\alpha_\varphi\,\mathrm{d} u'}{\sqrt{2mE+2mku'-\alpha_\varphi^2u'^2}}$$

となる。根号の中を平方完成するため

$$\lambda\coloneqq\frac{\alpha_\varphi^2}{mk},\qquad e\coloneqq\sqrt{1+\frac{2E\alpha_\varphi^2}{mk^2}}\tag{1.13.17}$$

と置くと、$2mE+2mku-\alpha_\varphi^2u^2=(\alpha_\varphi/\lambda)^2\bigl[e^2-(\lambda u-1)^2\bigr]$ と書けるので

$$\int^u\frac{\alpha_\varphi\,\mathrm{d} u'}{\sqrt{2mE+2mku'-\alpha_\varphi^2u'^2}}=\int^u\frac{\lambda\,\mathrm{d} u'}{\sqrt{e^2-(\lambda u'-1)^2}}=-\arccos\frac{\lambda u-1}{e}+\text{定数}$$

となる。定数を $\beta_\varphi$ に含めると、式 (1.13.16) は $\varphi-\beta_\varphi=\arccos\bigl((\lambda/r-1)/e\bigr)$、すなわち

$$r=\frac{\lambda}{1+e\cos(\varphi-\beta_\varphi)}\tag{1.13.18}$$

になる。これは焦点を原点に置いた円錐曲線で、$e$ は離心率、$\beta_\varphi$ は近点（$r$ が最小の点）の方位角である。$E<0$ なら $e<1$ で楕円、$E=0$ で放物線、$E>0$ で双曲線になる。離心率の記号 $e$ は電気素量と同じ字だが、この章には電荷が出ないのでそのまま使う。