出てくるもの：時間を分離した特性関数と1次元の運動

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第13章 §1.13.3　★★★ $H$ が時刻を含まなければ $S=W(q)-Et$。1次元では $W(q)=\int p\,\mathrm{d} q$ で、運動は積分1つで求まる

時間の分離

Hamiltonian が時刻を陽に含まないとき、Hamilton–Jacobi 方程式 (1.13.2) で $t$ が現れるのは $\partial S/\partial t$ だけである。そこで

$$S(q,\alpha,t)=W(q,\alpha)-Et,\qquad H\Bigl(q,\frac{\partial W}{\partial q}\Bigr)=E\tag{1.13.8}$$

と置くと、$t$ を含まない方程式になる。後者を時間に依らない Hamilton–Jacobi 方程式、$W(q)$ を特性関数と呼ぶ。$E$ はエネルギーの値で、完全解の定数の1つ（たとえば $\alpha_1=E$）として使う。特性関数は引数 $q$ を必ず付けて書き、仕事 $W$ や状態数 $W(E)$ と区別する。

Jacobi の定理を $\alpha_1=E$ に当てると $\beta_1=\partial S/\partial E=\partial W/\partial E-t$ なので

$$\frac{\partial W}{\partial E}=t+\beta_1\tag{1.13.9}$$

となる。$W$ そのものも母関数とみなせて、$F_2=W(q,P)$ で $P_1=E$ とすると、新しい Hamiltonian は $K=H=E=P_1$ で、新しい座標は $\dot Q_1=\partial K/\partial P_1=1$ より $Q_1=t+\beta_1$ と時刻に比例して進む。$S$ は新しい変数を全部止める変換、$W$ は時刻に比例して進む座標を1つ残す変換で、式 (1.13.9) はどちらの見方でも同じ式になる。

1次元の運動

自由度1、$H=p^2/(2m)+V(q)$ なら、式 (1.13.8) は $\frac{1}{2m}(\mathrm{d} W/\mathrm{d} q)^2+V(q)=E$ で、解は

$$W(q,E)=\int^q p(q',E)\,\mathrm{d} q',\qquad p(q,E)=\pm\sqrt{2m\bigl(E-V(q)\bigr)}\tag{1.13.10}$$

である。符号は運動の向きで、転回点（$E=V(q)$）を通るたびに入れ替わるので、$W$ は経路に沿って積分を続けた値として扱う。式 (1.13.9) は

$$t+\beta_1=\frac{\partial W}{\partial E}=\int^q\frac{\partial p}{\partial E}\,\mathrm{d} q'=\int^q\frac{m}{p(q',E)}\,\mathrm{d} q'\tag{1.13.11}$$

となり、時刻が位置の積分として求まる。これを $q$ について解けば運動 $q(t)$ である。

調和振動子 $V=\frac12m\omega^2q^2$ では $p=\sqrt{2mE-m^2\omega^2q^2}$（$p>0$ の枝）で、

$$\frac{\partial W}{\partial E}=\int_0^q\frac{m\,\mathrm{d} q'}{\sqrt{2mE-m^2\omega^2q'^2}}=\frac1\omega\arcsin\Bigl(q\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}\Bigr)$$

なので、式 (1.13.9) から

$$q(t)=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\,\sin\omega(t+\beta_1)\tag{1.13.12}$$

を得る。定数は振幅を決める $E$ と位相を決める $\beta_1$ で、運動方程式を一度も積分せずに一般解が出た。

$W(q,E)=\int p\,\mathrm{d} q$ は、相空間で等エネルギー線 $H(q,p)=E$ の下の面積である。調和振動子の等エネルギー線は半軸 $\sqrt{2E/m\omega^2}$ と $\sqrt{2mE}$ の楕円なので、1周の積分は楕円の面積

$$\oint p\,\mathrm{d} q=\pi\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\sqrt{2mE}=\frac{2\pi E}{\omega}\tag{1.13.13}$$

になる。この量を $2\pi$ で割った $J=E/\omega$ を新しい運動量に選ぶのが、次の章（第1部第14章）の作用角変数である。

変数が分離できる場合

自由度が2以上でも、Hamiltonian の形によっては $W$ を各変数の関数の和 $W=\sum_iW_i(q_i,\alpha)$ に分けられる。最も簡単なのは循環座標で、$q_k$ が $H$ に現れなければ $p_k$ は保存し、$W$ は $\alpha_kq_k$ という項を持つ（$\partial W/\partial q_k=\alpha_k$ が保存する運動量の値）。一般に、方程式 (1.13.8) を変形して「$q_1$ と $\partial W/\partial q_1$ だけを含む式」＝「残りの変数だけを含む式」の形にできれば、両辺は定数でなければならず、$W_1$ についての常微分方程式が1本切り出せる。この操作を繰り返して全部の変数が分かれるとき、系は変数分離できるという。どの座標系で分離できるかは Hamiltonian の対称性で決まり、中心力なら極座標で分離できる（次の節）。