当てる道具：作用を終点の関数として見る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第13章 §1.13.2　★★★ 真の経路に沿った作用を終点の関数とみなすと Hamilton–Jacobi 方程式の解になり、時間発展という正準変換の母関数になる

終点を動かしたときの作用の変化

前の節では Hamilton–Jacobi 方程式を母関数の条件として導いたが、その解 $S$ が何を表すかはまだ分からない。ここでは第1部第3章・第4章の変分の道具を当てて、$S$ が作用であることを示す。

時刻 $t_0$ に点 $q_0$ を出て時刻 $t$ に点 $q$ に着く真の経路（Euler–Lagrange 方程式の解）が1本だけあるとし、その経路に沿った作用

$$S(q,t;q_0,t_0)\coloneqq\int_{t_0}^{t}L\bigl(q(t'),\dot q(t'),t'\bigr)\,\mathrm{d} t'\qquad(q(t')\text{ は真の経路})\tag{1.13.5}$$

を、終点 $(q,t)$ と始点 $(q_0,t_0)$ の普通の関数とみなす。作用汎関数 $S[q]$ が「経路を入れて数を返す」のに対して、この $S$ は「端点を入れて、その端点を結ぶ真の経路の作用を返す」。

終点の位置を $q$ から $q+\delta q$ へ動かすと、真の経路も少し変わる。第1部第4章で示したとおり、作用の第1変分は内部の Euler–Lagrange 方程式の項と端の項に分かれ、真の経路では内部の項が消えて端の項だけが残る。始点を固定し終点だけを動かすので

$$\delta S=\sum_ip_i\,\delta q_i\Big|_{t},\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{\partial S}{\partial q_i}=p_i\tag{1.13.6}$$

を得る。$p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ は終点に着いたときの正準運動量である。

時刻 $t$ についての微分は次のように出す。終点を真の経路そのものに沿って動かすと、$S$ は被積分関数の値 $L$ の割合で増える。一方、そのとき $(q,t)$ は $\mathrm{d} q_i=\dot q_i\,\mathrm{d} t$ だけ動くので、連鎖律から

$$L=\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}\Big|_{\text{経路に沿って}}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_i\frac{\partial S}{\partial q_i}\dot q_i=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum_ip_i\dot q_i .$$

よって $\partial S/\partial t=L-\sum_ip_i\dot q_i=-H$ である。これと式 (1.13.6) を合わせると $H(q,\partial S/\partial q,t)+\partial S/\partial t=0$ となり、真の経路の作用 (1.13.5) は Hamilton–Jacobi 方程式 (1.13.2) を満たす。始点についても同じ計算で、端の項の符号が逆になるので $\partial S/\partial q_{0i}=-p_{0i}$, $\partial S/\partial t_0=H(q_0,p_0,t_0)$ となる。まとめると

$$\mathrm{d} S=\sum_ip_i\,\mathrm{d} q_i-H\,\mathrm{d} t-\sum_ip_{0i}\,\mathrm{d} q_{0i}+H_0\,\mathrm{d} t_0 .\tag{1.13.7}$$

時間発展の母関数

式 (1.13.7) を前の章の母関数の言葉で読む。始点 $t_0$ を固定し、始点の位置 $q_0$ を新しい座標 $Q$ とみなすと、$S(q,t;Q)$ は旧い座標 $q$ と新しい座標 $Q$ を引数にとる母関数 $F_1(q,Q,t)$ の形をしている。$F_1$ の規則 $p=\partial F_1/\partial q$, $P=-\partial F_1/\partial Q$ に式 (1.13.7) を当てると、新しい運動量は $P=-\partial S/\partial q_0=p_0$ になり、新しい Hamiltonian は $K=H+\partial S/\partial t=0$ になる。つまり、真の経路の作用は「時刻 $t$ の状態 $(q,p)$ を時刻 $t_0$ の状態 $(q_0,p_0)$ へ戻す正準変換」の母関数である。前の章で「時間発展は正準変換」と述べたが、その変換の母関数を具体的に書くと作用になる。始点の位置 $q_0$ を定数 $\alpha$ とみなせば、$S(q,t;q_0,t_0)$ は1.13.1節の意味での完全解の1つで、Jacobi の定理の $\beta=\partial S/\partial\alpha=-p_0$ は始点の運動量（の符号を変えたもの）である。

真の経路が1本でなくなる所

この構成は、端点を結ぶ真の経路が1本だけ、という仮定に頼っている。調和振動子 $L=\frac12m\dot q^2-\frac12m\omega^2q^2$ では、$q_0$ を出る真の経路は $q(t')=q_0\cos\omega t'+(p_0/m\omega)\sin\omega t'$ で、$\omega t=\pi$ では $p_0$ によらず $q(t)=-q_0$ になる（図 1.13.1）。この時刻には $q=-q_0$ を通る真の経路が無数にあり、それ以外の $q$ を通る真の経路は1本もないので、$S(q,t;q_0)$ は定義できない。完全解の条件 (1.13.3) で言えば、例題 1.13.2 で扱う主関数では $\partial^2S/\partial q\,\partial q_0=-m\omega/\sin\omega t$ が $\omega t\to\pi$ で発散する。同じ始点を出た近くの経路が再び集まるこの点は、第1部第5章で焦点と呼んだもの（図 1.5.2）と同じで、ここでは始点の共役点と呼ぶ。第1部第3章では、端を固定した $\int(\frac12\dot q^2-\frac12\omega^2q^2)\mathrm{d} t$ の停留点が、区間の長さ $T$ が $\pi/\omega$ を超えると最小点でなくなることを2次の変分で見た。その境目の $T=\pi/\omega$ が、ここで経路が再び集まる時刻と一致している。