汎関数：関数を入れて数を返すもの

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第3章 §1.3.1　★★★ 1変数・多変数の極値問題と同じ問いを、関数を変数にして立て直す

解析力学は、運動の法則を「ある量が停留する」という形で書き直す。その量は作用 $S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d} t$ で、経路 $q(t)$ を1本入れると数が1つ返ってくる。普通の微分積分で扱う関数 $f(x)$ は数を入れて数を返すが、作用は関数を丸ごと入れて数を返す。この違いのせいで、「作用を経路で微分する」「経路をずらす $\delta q$」といった言い回しが、普通の微分の言葉のままでは意味が定まらない。この章では物理の内容には立ち入らず、この言い回しに数学の意味を与える。

この章で作る道具は4つある。1つ目は汎関数（関数を入れて数を返すもの）という見方で、1変数・多変数の極値問題と並べて導入する。2つ目は離散化で、経路を有限個の点の値で表すと汎関数はただの多変数関数になり、多変数の微分の知識がそのまま使える。3つ目は変分 $\delta$ で、経路を1つの実数 $\epsilon$ でずらした族を作り、$\epsilon$ で普通に微分する操作として定義する。これで $\delta$ と微分 $\mathrm{d}$ の違い、$\delta$ と $\mathrm{d}/\mathrm{d} t$ を入れ替えてよい理由がはっきりする。4つ目は汎関数微分 $\delta F/\delta q(t)$ で、多変数関数の偏微分 $\partial f/\partial x_i$ の添字 $i$ を連続の $t$ に置き換えたものにあたる。最後に、すべての方向への変分が $0$ になる条件（停留）が「汎関数微分 $=0$」と同じであることを変分法の基本補題で示し、停留が最小とは限らないことを2次の変分で確かめる。

一般の被積分関数 $L(q,\dot q,t)$ について停留の条件を書き下したものが Euler–Lagrange 方程式で、その導出と、端を固定しないときの境界条件は次の章（第1部第4章）で扱う。この章では具体的な汎関数だけを相手にして、道具の意味を固めることに専念する。

1変数と多変数の極値問題

出発点は高校以来の極値問題である。$x_0$ から少し動かした $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\mathcal{O}(h^2)$ では、1次の項が $h$ の符号によって増減の向きを変えるので、滑らかな関数 $f(x)$ が $x_0$ で極値をとるなら $f'(x_0)=0$ が成り立つ。$f'(x_0)\neq0$ なら、$h$ を正と負のどちらかに選べば $f$ を $f(x_0)$ より小さくも大きくもできるので、$x_0$ は極値になりえない。$f'(x_0)=0$ を満たす点を停留点と呼ぶ。極小・極大・変曲点のどれもが停留点になるので、停留は極値の必要条件にすぎない。

変数が $N$ 個の関数 $f(x_1,\dots,x_N)$ でも同じ考え方をする。動かす向きが1通りでなくなるので、向き $h=(h_1,\dots,h_N)$ を1つ決め、その向きに実数 $\epsilon$ だけ動かした $f(x+\epsilon h)$ を $\epsilon$ の1変数関数として微分する。

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}f(x+\epsilon h)\Big|_{\epsilon=0}=\sum_{i=1}^N\frac{\partial f}{\partial x_i}h_i .\tag{1.3.1}$$

これを $h$ 方向の方向微分と呼ぶ。右辺は連鎖律から出る。$x$ が停留点であるとは、すべての向き $h$ について方向微分が $0$ になることで、$h$ に各座標軸の向きを順に入れれば、これは $\partial f/\partial x_i=0$（$i=1,\dots,N$）と同じ条件になる。この章では、「1つの向きを決めて実数1つで動かし、普通に微分する」という同じ手順を関数の空間で行う。

汎関数

角括弧は「関数 $q$ 全体を入れる」ことを示す。$F[q]$ は特定の時刻の値 $q(t)$ だけでなく、区間全体での $q$ のふるまいで決まる。これに対して、普通の関数の引数は丸括弧で書く。$S[q]$（作用）と $S(q,t)$（後の章で出る Hamilton の主関数）は、括弧で区別する。

典型的な汎関数を4つ挙げる。

$$\begin{align*}F_1[q]&=\int_{t_1}^{t_2}q(t)^2\,\mathrm{d} t, & F_2[q]&=q(t_0)\quad(t_1<t_0<t_2),\tag{1.3.2}\\\ell[y]&=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'(x)^2}\,\mathrm{d} x, & S[q]&=\int_{t_1}^{t_2}L\bigl(q(t),\dot q(t),t\bigr)\,\mathrm{d} t .\tag{1.3.3}\end{align*}$$

$F_1$ は関数の2乗の面積、$F_2$ は1点での値を取り出すだけの汎関数で、これも「関数を入れて数を返す」ので汎関数に入る。$\ell[y]$ は平面上の曲線 $y(x)$ の長さで、$\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$ が線素 $\sqrt{\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2}$ にあたる。$S[q]$ は被積分関数 $L$ が $q$・$\dot q$・$t$ の普通の関数である汎関数で、解析力学の作用はこの形をしている。この章では $L$ を物理の Lagrangian と結びつけず、「3つの数を入れて数を返す与えられた関数」とだけ考える。$L=T-V$ という選び方の理由は 第1部第5章 で扱う。

汎関数の値は経路全体で決まるので、$q$ と $\dot q$ は $L$ の中では独立な2つの変数として入るが、経路を1本決めると $\dot q(t)$ は $q(t)$ の導関数として決まる。$L(q,\dot q,t)$ の偏微分 $\partial L/\partial q$ は「$\dot q$ と $t$ を止めて $q$ だけ動かす」偏微分で、経路の上で $q$ を動かすと $\dot q$ も一緒に動く、という事情とは別の話である。この区別は1.3.6節で、教科書の書き方と並べてもう一度扱う。

汎関数の極値問題

変分問題とは、端の値 $q(t_1)=q_{\mathrm a}$, $q(t_2)=q_{\mathrm b}$ を決めた関数のうちで、汎関数 $F[q]$ を最小（または停留）にするものを探す問題である。平面上の2点を結ぶ曲線のうち最も短いものを探す問題は、$\ell[y]$ の変分問題になる。答えが線分であることは誰でも知っているが、それを「$\ell$ の微分が $0$」という計算で出すには、関数を変数とする微分を定義する必要がある。多変数の場合の式 (1.3.1) を手本にすると、次の2つを決めればよい。1つは「関数 $q$ を動かす向き」で、これは端で $0$ になる関数 $\eta(t)$ である（端の値を決めた問題なので、端は動かさない）。もう1つは「その向きに実数 $\epsilon$ だけ動かした $F[q+\epsilon\eta]$ を $\epsilon$ で微分する」ことで、これは普通の1変数の微分である。この2つを1.3.3節で定義として書き、1.3.4節で偏微分 $\partial f/\partial x_i$ にあたるものを取り出す。その前に、汎関数をいったん普通の多変数関数に直して、この手順が多変数の微分そのものであることを1.3.2節で確かめておく。