停留：基本補題と、停留が最小とは限らないこと

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第3章 §1.3.5　★★★ 「すべての向きで $\delta F=0$」と「汎関数微分 $=0$」が同じ条件であることを示し、停留を最小と取り違えない

停留の定義

汎関数微分が存在すれば、$\delta F=\epsilon\int(\delta F/\delta q)\eta\,\mathrm{d} t$ である。$\delta F/\delta q\equiv0$ なら停留は明らかに成り立つ。逆向き（停留なら汎関数微分が $0$）を言うには、「すべての $\eta$ との積分が $0$ になる関数は $0$ しかない」ことを示す必要がある。これが次の補題である。

変分法の基本補題

証明

ある内点 $s$ で $g(s)\neq0$ と仮定し、$g(s)>0$ とする（負なら $g$ を $-g$ に替える）。$g$ は連続なので、ある $r>0$ があって区間 $(s-r,s+r)\subset(t_1,t_2)$ の上で $g>0$ である。この区間の中だけで正、外では $0$ になる滑らかな関数 $\eta$ を1つ選ぶ。たとえば

$$\eta(t)=\begin{cases}\exp\Bigl(-\dfrac{1}{r^2-(t-s)^2}\Bigr)&(\lvert t-s\rvert <r)\\[4pt] 0&(\lvert t-s\rvert \ge r)\end{cases}$$

は何回でも微分でき、端で $0$ になる。このとき $g\eta$ は区間 $(s-r,s+r)$ で正、外で $0$ なので $\int g\eta\,\mathrm{d} t>0$ となり、仮定に反する。よってすべての内点で $g=0$ で、連続性から端点でも $g=0$ である。

この補題から、汎関数微分を持つ汎関数について

$$\delta F=0\ \ (\text{すべての許される }\eta)\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\delta F}{\delta q(t)}=0\ \ (t_1<t<t_2)\tag{1.3.15}$$

が従う。多変数関数で「すべての向きの方向微分が $0$」と「すべての偏微分が $0$」が同じだったことに対応する。多変数では座標軸の向きを $N$ 本選べば済んだが、関数の空間には座標軸の代わりに無数の向きがあり、証明では「1点の近くだけで正になる向き」を選んで1点ずつ調べている。変分問題で $\eta$ をすべての許される関数にわたって動かすのはこのためである。同じ論法で、1.3.4節で述べた汎関数微分の一意性も出る（$\int(g_1-g_2)\eta\,\mathrm{d} t=0$ がすべての $\eta$ で成り立てば $g_1=g_2$）。

2次の変分

停留は、多変数の場合と同じく最小の必要条件にすぎない。停留点 $q$ のまわりで

$$F[q+\epsilon\eta]=F[q]+\delta^2F+\mathcal{O}(\epsilon^3),\qquad \delta^2F\coloneqq\frac{\epsilon^2}{2}\,\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\epsilon^2}F[q+\epsilon\eta]\Big|_{\epsilon=0}\tag{1.3.16}$$

と展開し、$\delta^2F$ を2次の変分と呼ぶ。すべての許される $\eta\neq0$ で $\delta^2F>0$ なら、どの向きにも少し動かせば $F$ は増える。1つでも $\delta^2F<0$ となる向きがあれば、その向きに動かすと $F$ が減るので、$q$ は最小点ではない。

例として、$[0,T]$ 上の汎関数

$$S[q]=\int_0^T\Bigl(\frac12\dot q^2-\frac12\omega^2q^2\Bigr)\mathrm{d} t,\qquad q(0)=q(T)=0\tag{1.3.17}$$

を考える。(b) と (d) から $\delta S/\delta q(t)=-\ddot q-\omega^2q$ で、$q\equiv0$ は停留点である。$S$ は $q$ の2次式なので、$q\equiv0$ のまわりの展開は2次で終わり$S[\epsilon\eta]=\frac{\epsilon^2}{2}\int_0^T(\dot\eta^2-\omega^2\eta^2)\,\mathrm{d} t$ となる。向きとして $\eta_n(t)=\sin(n\pi t/T)$（$n=1,2,\dots$）を入れると、$\int_0^T\sin^2(n\pi t/T)\,\mathrm{d} t=\int_0^T\cos^2(n\pi t/T)\,\mathrm{d} t=T/2$ から

$$S[\epsilon\eta_n]=\frac{\epsilon^2T}{4}\Bigl[\Bigl(\frac{n\pi}{T}\Bigr)^2-\omega^2\Bigr]\tag{1.3.18}$$

を得る。$T<\pi/\omega$ なら $n=1$ でも括弧の中は正で、$T>\pi/\omega$ なら $n=1$ の向きで負になる（図 1.3.3）。つまり $q\equiv0$ は、区間が短いあいだは最小点だが、区間の長さが $\pi/\omega$ を超えると停留点のまま最小点でなくなる。$T<\pi/\omega$ のとき、$\eta_n$ 以外の向きも含めて本当に最小であることは、次の不等式で確かめられる。

証明

$\eta$ を $[0,T]$ の正弦級数 $\eta=\sum_{n\ge1}b_n\sin(n\pi t/T)$ に展開する（端で $0$ の関数は奇関数に延長して Fourier 展開できる）。$\sin(n\pi t/T)$ どうし、$\cos(n\pi t/T)$ どうしは $[0,T]$ で直交し、2乗の積分はどれも $T/2$ なので

$$\int_0^T\eta^2\,\mathrm{d} t=\frac T2\sum_nb_n^2,\qquad\int_0^T\dot\eta^2\,\mathrm{d} t=\frac T2\sum_n\Bigl(\frac{n\pi}{T}\Bigr)^2b_n^2\ \ge\ \Bigl(\frac{\pi}{T}\Bigr)^2\frac T2\sum_nb_n^2 .$$

等号は $n\ge2$ の係数がすべて $0$ のときに限る。

この不等式を使うと、$T<\pi/\omega$ のとき $S[\epsilon\eta]\ge\frac{\epsilon^2}{2}\bigl[(\pi/T)^2-\omega^2\bigr]\int\eta^2\,\mathrm{d} t>0$（$\eta\neq0$）で、$q\equiv0$ は最小点である。物理の作用はこの $S$ の形をしていて、運動方程式の解は作用の停留点ではあるが、時間が長いと最小点ではない。「最小作用の原理」という呼び名と実際の中身（停留）の関係は 第1部第5章 で扱う。