汎関数微分

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第3章 §1.3.4　★★★ 第1変分を $\int(\cdots)\delta q\,\mathrm{d} t$ の形に書いたときの $(\cdots)$ が汎関数微分。偏微分の添字 $i$ を連続の $t$ にしたもの

定義

多変数の方向微分 (1.3.1) は、向き $h$ との内積 $\sum_i(\partial f/\partial x_i)h_i$ の形をしていた。添字 $i$ についての和を $t$ についての積分に置き換えると、次の定義になる。

1.3.2節の離散化で言えば、$\delta F=\sum_k(\partial S_N/\partial q_k)\delta q_k=\sum_k\bigl(\frac{1}{\Delta t}\partial S_N/\partial q_k\bigr)\delta q_k\,\Delta t$ の括弧の中が $\delta F/\delta q(t_k)$ にあたり、和に $\Delta t$ を掛けたものが積分になる。式 (1.3.6) で偏微分を $\Delta t$ で割ったのはこのためである。$\delta F/\delta q(t)$ は時刻 $t$ ごとに値を持つ関数で、「時刻 $t$ の近くで経路を単位の面積だけ押し上げたときの $F$ の変化率」と読める。

$\eta$ について線型な $\delta F$ を $\int g\,\eta\,\mathrm{d} t$ の形に書く方法が1通りしかないこと（$g$ が一意に決まること）は、1.3.5節の基本補題から従う。したがって汎関数微分は、存在すれば1つに決まる。

基本的な例

(a) 掛けて積分する汎関数

$F[q]=\int g(t)q(t)\,\mathrm{d} t$（$g$ は与えられた関数）なら $\delta F=\int g\,\delta q\,\mathrm{d} t$ なので、$\delta F/\delta q(t)=g(t)$。多変数の $f=\sum_ig_ix_i$ で $\partial f/\partial x_i=g_i$ となるのと同じである。

(b) 被積分関数が $q$ だけの関数

$F[q]=\int V(q(t))\,\mathrm{d} t$ なら、積分の中で普通に微分して $\delta F=\int V'(q)\,\delta q\,\mathrm{d} t$。よって

$$\frac{\delta}{\delta q(t)}\int V(q(t'))\,\mathrm{d} t'=V'\bigl(q(t)\bigr).\tag{1.3.12}$$

$F_1[q]=\int q^2\,\mathrm{d} t$ なら $\delta F_1/\delta q(t)=2q(t)$ である。

(c) 1点の値

$F_2[q]=q(t_0)$ なら $\delta F_2=\epsilon\eta(t_0)$。これを $\int(\cdots)\epsilon\eta(t)\,\mathrm{d} t$ の形に書ける普通の関数は無い。Dirac のデルタ関数 $\delta(t-t_0)$（$\int\delta(t-t_0)\eta(t)\,\mathrm{d} t=\eta(t_0)$ で定義される超関数）を許すと$\delta F_2/\delta q(t)=\delta(t-t_0)$ と書ける。$t_0$ を $t'$ と書き直すと

$$\frac{\delta q(t')}{\delta q(t)}=\delta(t-t')\tag{1.3.13}$$

となる。多変数の $\partial x_j/\partial x_i=\delta_{ij}$（Kronecker のデルタ）の連続版で、場の理論の章（第2部第5章）でこの形をよく使う。分子の $\delta$ は変分、右辺の $\delta(t-t')$ はデルタ関数で、同じ字だが引数の有無で区別する。

(d) 導関数を含む汎関数

$F[q]=\int_{t_1}^{t_2}\frac12\dot q^2\,\mathrm{d} t$ なら、規則 (1.3.10) を使って $\delta F=\int\dot q\,\delta\dot q\,\mathrm{d} t=\int\dot q\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q\,\mathrm{d} t$。このままでは $\delta q$ でなく $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q$ が掛かっているので、定義 (1.3.11) の形になっていない。部分積分で導関数を $\dot q$ の側へ移すと

$$\delta F=\Bigl[\dot q\,\delta q\Bigr]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\ddot q\,\delta q\,\mathrm{d} t=-\int_{t_1}^{t_2}\ddot q\,\delta q\,\mathrm{d} t, \qquad \frac{\delta}{\delta q(t)}\int\frac12\dot q^2\,\mathrm{d} t'=-\ddot q(t).\tag{1.3.14}$$

許される向きが端で $0$ になる条件 (1.3.7) により、端の項は消える。端を固定しない問題では端の項が残り、それが境界条件を決める（第1部第4章）。この結果は1.3.2節の極限 (1.3.6) と、例題 1.3.2 の $-\ddot q$ に一致する。例題 1.3.3 の $F=\int\dot q^2\,\mathrm{d} t$（係数が2倍）では $\delta F/\delta q=-2\ddot q$ で、$q=t$ なら $0$、$q=t^2$ なら $-4$ である。後者で $\int_0^1(-4)\sin\pi t\,\mathrm{d} t=-8/\pi$ となり、例題の1次の係数と合う。$q=t$ では汎関数微分が恒等的に $0$ なので、どの向きの第1変分も $0$ になる。

被積分関数が $q$ と $\dot q$ の両方を含む一般の $L(q,\dot q,t)$ でも、(b) と (d) を組み合わせれば汎関数微分は求まる。その結果の式と、それを $0$ とおいた方程式（Euler–Lagrange 方程式）は次の章で導く。

積と合成の規則

汎関数微分は、普通の微分と同じ線型性・積の規則・合成の規則（連鎖律）を満たす。どれも、$\epsilon$ についての普通の微分の規則を第1変分 (1.3.9) に当てはめると出る。たとえば2つの汎関数の積 $F[q]G[q]$ なら

$$\frac{\delta(FG)}{\delta q(t)}=\frac{\delta F}{\delta q(t)}G[q]+F[q]\frac{\delta G}{\delta q(t)},$$

数の関数 $\Phi$ との合成 $\Phi(F[q])$ なら $\delta\Phi(F)/\delta q(t)=\Phi'(F[q])\,\delta F/\delta q(t)$ となる。右辺の $G[q]$・$F[q]$・$\Phi'(F[q])$ は $t$ によらない数で、$t$ への依存はすべて汎関数微分の側にある。