この章で選ぶもの：Lagrangian 密度

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第5章 §2.5.1　★★★ 場の Lagrangian は空間積分 $L=\int\mathcal L\,\mathrm{d}^3x$ で、中身 $\mathcal L$ は各点の値と1階微分だけで決まる

前の章（第2部第4章）では、ばねでつないだ原子の列の Lagrangian から出発し、格子間隔 $a$ を $0$ に送る極限で、原子の変位 $q_n(t)$ の並びが連続な関数 $\phi(t,x)$ に置き換わり、運動方程式が波動方程式になることを見た。そのとき Lagrangian は原子についての和から $x$ についての積分 $L=\int\mathcal L\,\mathrm{d} x$ に変わり、積分の中身 $\mathcal L$ は各点の $\phi$ の時間微分と空間微分だけで書けていた。この章では、この積分の中身を主役にする。

この章で選ぶものはLagrangian 密度 $\mathcal L(\phi,\partial_t\phi,\nabla\phi,t,\bm{x})$ である。作用は $\mathcal L$ を時間と空間の両方について積分したもの

$$S[\phi]=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d} t\int\mathrm{d}^3x\;\mathcal L$$

になる。当てる道具は第1部の汎関数と変分（第1部第3章）と Euler–Lagrange 方程式の導き方（第1部第4章）で、変えるのは1か所だけである。粒子では時刻 $t$ の1変数で部分積分したが、場では時刻と空間の4変数で部分積分する。そのための道具が発散定理で、これを使うと場の Euler–Lagrange 方程式

$$\partial_\mu\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu\phi)}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=0$$

が出てくる。この1本の式から、弦の波動方程式・Klein–Gordon 方程式・Schrödinger 方程式が、$\mathcal L$ の選び方の違いとして出てくる。後半では、部分積分で出る境界の項から弦の端の条件（固定端・自由端・ばねつきの端）を導き、粒子の Legendre 変換を空間の各点で行って Hamiltonian 密度とエネルギーの流れを作る。電磁場の Lagrangian は次の章（第2部第6章）、場の Noether の定理とエネルギー運動量テンソルはその次の章（第2部第7章）で扱う。

原子の列から弦へ（前の章の結果）

前の章（第2部第4章）の出発点は、質量 $m$ の原子が間隔 $a$ で1列に並び、隣どうしがばね定数 $K$ のばねでつながった系だった。線密度 $\rho=m/a$ と1次元の弾性率 $Y=Ka$ を固定して格子間隔 $a$ を $0$ に送ると、列の Lagrangian は第4章の式 (2.4.14) の形になる。この章では変位を $\phi(t,x)$ と書いて

$$L=\int\mathrm{d} x\;\Bigl[\frac\rho2(\partial_t\phi)^2-\frac Y2(\partial_x\phi)^2\Bigr],\qquad \rho=\frac ma,\quad Y=Ka\tag{2.5.1}$$

と書く。$\rho$ は単位長さあたりの質量（線密度）、$Y$ は1次元の弾性率である。棒の縦振動なら $Y$ は Young 率と断面積の積、張った弦の横振動なら張力に当たる（2.5.6節）。前の章では、この $L$ から波動方程式 $\rho\,\partial_t^2\phi=Y\partial_x^2\phi$ と波の速さ $v=\sqrt{Y/\rho}$ を出した。

Lagrangian 密度

式 (2.5.1) の被積分関数を取り出して $\mathcal L$ と書く。

粒子の力学との対応はこうなる。粒子では一般化座標 $q_i$ に番号 $i=1,\dots,f$ が付いていた。場では番号の代わりに空間の点 $\bm{x}$ が付き、$\phi(t,\bm{x})$ は「番号 $\bm{x}$ の一般化座標の時刻 $t$ での値」である。自由度は連続無限個になり、和 $\sum_i$ は積分 $\int\mathrm{d}^3x$ に変わる。同じ記号 $\bm{x}$ が出てくるが、$\bm{x}$ は力学変数ではなく番号であり、時刻 $t$ と同じく「どこで値を読むか」を指定する引数である。

Lagrangian が密度の積分の形 (2.5.2) に書けることは、どの場でも成り立つわけではない。原子の列では、各原子が隣の原子とだけばねでつながっていたので、$L$ は「点 $n$ の付近の量」の和になっていた。隣どうしの差 $q_{n+1}-q_n$ は連続の極限で微分 $\partial_x\phi$ になる。こうして、近くどうしだけが相互作用する系（局所的な系）では、$\mathcal L$ が各点の $\phi$ とその1階微分で書くことができる。遠く離れた点どうしが直接相互作用する系（たとえば重力や Coulomb 力で直接結ばれた粒子の集まり）は、このままでは密度の形にならない。そうした遠隔の相互作用も、間に場（電磁場）を立ててその場を局所的な $\mathcal L$ で書けば、密度の形に収まる。次の章で電磁場の $\mathcal L$ を書くのはこのためである。

この巻では $\mathcal L$ が $\phi$ の2階以上の微分を含まない場合だけを扱う。粒子の $L(q,\dot q,t)$ が加速度を含まなかったのと同じ制限で、物理で使う場の理論（波動・電磁場・Klein–Gordon・Dirac）はすべてこの範囲に入る。

相対論の記法

時刻と空間をまとめて $x^\mu=(ct,\bm{x})$ と書くと、$\partial_\mu=(\frac1c\partial_t,\nabla)$、体積要素は $\mathrm{d}^4x=c\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x$ だから、作用は

$$S[\phi]=\frac1c\int\mathcal L\bigl(\phi,\partial_\mu\phi,x\bigr)\,\mathrm{d}^4x\tag{2.5.4}$$

と書ける（記法は 第2部第3章 と同じで、計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$）。$\mathcal L$ が $\partial_\mu\phi$ を通してだけ微分を含むことを、引数を $\partial_\mu\phi$ とまとめて書いて表す。前の係数 $1/c$ は、$\mathcal L$ をエネルギー密度の次元に保つための約束である。弦のように相対論と関係しない場では、$\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x$（1次元なら $\mathrm{d} t\,\mathrm{d} x$）の形 (2.5.3) をそのまま使う。

式 (2.5.1) は格子間隔を $0$ に送った極限なので、格子の運動方程式と比べてどれだけずれるかは分散関係で測ることができる。第4章の式 (2.4.16) で、格子の分散関係 $\omega=2\sqrt{K/m}\,\sin(ka/2)$ を $ka$ について展開して

$$\omega=vk\Bigl(1-\frac{(ka)^2}{24}+\mathcal{O}\bigl((ka)^4\bigr)\Bigr),\qquad v=a\sqrt{K/m}=\sqrt{Y/\rho}\tag{2.5.5}$$

を得ている（図 2.5.1）。連続体の $\mathcal L$ は、$ka$ の小さい（波長が格子間隔より十分長い）成分について、相対誤差 $(ka)^2/24$ で格子を再現する。