選ぶもの：4元ポテンシャルを場とする Lagrangian 密度

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第6章 §2.6.1　★★★ 場の変数は $\bm{E},\bm{B}$ でなく $A_\mu$。Lagrangian 密度は $-F^2/(4\mu_0)-J\cdot A$ で、3次元では $\varepsilon _0E^2/2-B^2/(2\mu_0)-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$

学部の電磁気学では、Maxwell 方程式の4本を実験法則（Coulomb の法則・電磁誘導・Ampère の法則）から1本ずつ組み立て、最後に変位電流を足して完成させる。この章では順序を逆にする。最初に Lagrangian 密度を1つ選び、第2部第5章の場の Euler–Lagrange 方程式を当てて、4本がどこから出るかを確かめる。

選ぶ場は4元ポテンシャル $A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$ の4成分で、選ぶ Lagrangian 密度は

$$\mathcal L=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^\mu A_\mu,\qquad F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$

である。当てる道具は場の Euler–Lagrange 方程式と、粒子の側では第2部第2章の荷電粒子の Lagrangian である。出てくるものは3つある。1つ目は、Euler–Lagrange 方程式から Gauss の法則と Ampère–Maxwell の法則（変位電流つき）が出ること。2つ目は、残りの2本（$\nabla\cdot\bm{B}=0$ と Faraday の法則）が方程式ではなく、$\bm{E}$ と $\bm{B}$ をポテンシャルから作ったことの帰結（恒等式）であること。3つ目は、粒子と場を1つの作用にまとめると Lorentz 力と Maxwell 方程式が同時に出て、真空では速さ $c=1/\sqrt{\varepsilon _0\mu_0}$ の波が出ること。最後に、学部の授業で習う4本の形と、この章の形を式で並べる。

計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、座標は $x^\mu=(ct,\bm{x})$、$\partial_\mu=(\frac1c\partial_t,\nabla)$ とし、上下に1回ずつ現れるギリシャ添字について和を取る（この本の流儀。第2部第3章）。3次元のラテン添字 $i,j,k=1,2,3$ には和の規約を使わず、和を取るときは $\sum$ を書くかベクトル記法で書く。

場の変数を何に取るか

第2部第5章では、時空の各点に値を持つ場 $\varphi_a(x)$ を一般化座標とみなし、作用を

$$S[\varphi]=\int\mathcal L\,\mathrm{d} t\,\mathrm{d}^3x=\frac1c\int\mathcal L\bigl(\varphi_a,\partial_\mu\varphi_a\bigr)\,\mathrm{d}^4x\tag{2.6.1}$$

と書いた。電磁場に当てるには、まず場の変数 $\varphi_a$ を何に取るかを決める必要がある。

素直な候補は $\bm{E}$ と $\bm{B}$ の6成分である。しかしこの選び方では、第2部第2章で荷電粒子の Lagrangian に現れた結合$-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ を書くことができない。粒子と場を1つの作用で扱うには、結合に現れる量を場の変数にする必要がある。そこで、粒子の場合（第2部第2章）にすでに Lagrangian に現れていた量、すなわちスカラーポテンシャル $\phi$ とベクトルポテンシャル $\bm{A}$ を場の変数に取る。$\bm{E}$ と $\bm{B}$ はそこから

$$\bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\qquad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{2.6.2}$$

で作る。4成分をまとめた $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ が4元ポテンシャルで、添字を下げると $A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$ になる。

$A_\mu$ の微分を反対称に組んだ

$$F_{\mu\nu}\coloneqq\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu\tag{2.6.3}$$

を電磁場テンソルと呼ぶ。成分を書くと、$F_{0i}=\frac1c\partial_tA_i-\partial_iA_0$ で $A_i=-A^i$、$A_0=\phi/c$ だから$F_{0i}=-\frac1c(\partial_tA^i+\partial_i\phi)=E^i/c$ となる。空間の成分は $F_{12}=\partial_1A_2-\partial_2A_1=-(\partial_xA_y-\partial_yA_x)=-B^3$ で、$F_{23}=-B^1$、$F_{31}=-B^2$ も同じである。まとめると

$$F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0&E_x/c&E_y/c&E_z/c\\-E_x/c&0&-B_z&B_y\\-E_y/c&B_z&0&-B_x\\-E_z/c&-B_y&B_x&0\end{pmatrix}, \qquad F^{0i}=-E^i/c,\quad F^{ij}=F_{ij}\tag{2.6.4}$$

である（行が $\mu$、列が $\nu$）。添字を2つとも上げると、時間の添字を1つだけ含む成分の符号が変わり、空間の添字2つの成分は変わらない。

Lagrangian 密度の形を決める条件

$\mathcal L$ の形は、次の3つの条件でほぼ決まる。

1つ目は、作用が Lorentz 変換で変わらないこと（第2部第3章で粒子の作用を固有時に取ったのと同じ要請）。$\mathrm{d}^4x$ は Lorentz 変換で変わらないので、$\mathcal L$ がスカラーであればよい。

2つ目は、場の方程式が $A_\mu$ について線形になること。電磁場は重ね合わせの原理に従うので、$\mathcal L$ は $A_\mu$ とその微分の2次式に限る。さらに方程式が時間の2階微分までになるように、微分は1階までにする。

3つ目は、ゲージ変換 $A_\mu\to A_\mu-\partial_\mu\Lambda$（$\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$、$\phi\to\phi-\partial_t\Lambda$）で$\bm{E}$ と $\bm{B}$ が変わらないので、場だけの部分は $F_{\mu\nu}$ を通してだけ $A_\mu$ によること。$F_{\mu\nu}$ がゲージ変換で変わらないことは、$\partial_\mu\partial_\nu\Lambda=\partial_\nu\partial_\mu\Lambda$ から1行で分かる。この条件がなぜ要るのか、という問いは第2部第8章で扱う。

$F_{\mu\nu}$ の2次でスカラーになる組は $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ と $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ の2つしかない。後者は全微分になって場の方程式に何も足さないこと（例題 2.6.1）が分かるので、場だけの部分は $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ の定数倍に決まる。成分で計算すると、式 (2.6.4) から

$$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2\sum_iF_{0i}F^{0i}+\sum_{i,j}F_{ij}F^{ij}=-\frac{2E^2}{c^2}+2B^2\tag{2.6.5}$$

である。前の係数は $-\frac{1}{4\mu_0}$ に取る。符号は、$E^2$ の項（$\partial_t\bm{A}$ の2乗を含む項）が正になるように選ぶ。粒子の $L=T-V$ で速度の2乗の項が正であるのと同じで、この符号を逆にするとエネルギーが下に有界でなくなる。大きさ $1/\mu_0$ は、次の節で Gauss の法則が $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon _0$（Coulomb の法則）の形になるように決まる。

源との結合は、荷電粒子の作用 $-q\int A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu$（第2部第2章・第2部第3章）を連続的な電荷に広げた $-J^\mu A_\mu$ に取る。ここで $J^\mu=(c\rho,\bm{J})$ は4元電流である。以上をまとめて、この章で選ぶ Lagrangian 密度は

$$\boxed{\;\mathcal L=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^\mu A_\mu\;}\tag{2.6.6}$$

である。式 (2.6.5) と $J^\mu A_\mu=c\rho\cdot\phi/c-\bm{J}\cdot\bm{A}$、$\varepsilon _0=1/(\mu_0c^2)$ を使って3次元の量で書き直すと

$$\mathcal L=\frac{\varepsilon _0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A} =\frac{\varepsilon _0}{2}\Bigl(\nabla\phi+\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}\Bigr)^2-\frac{1}{2\mu_0}(\nabla\times\bm{A})^2-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}\tag{2.6.7}$$

となる。場の変数 $\phi,\bm{A}$ で書くと、$\partial_t\bm{A}$ の2乗が第1項に入り、空間微分の2乗が第2項に入る。第1項は粒子の運動エネルギー、第2項はばねの位置エネルギーに当たり、第2部第4章で原子の列から作った弦の場$\mathcal L=\frac{\rho}{2}(\partial_tu)^2-\frac{Y}{2}(\partial_xu)^2$（$\rho$ は線密度、$Y$ は弾性率で、この節の電荷密度 $\rho$ とは別の量）と同じ「時間微分の2乗 $-$ 空間微分の2乗」の形をしている。