この章で選ぶもの：速度の1次の項を持つ $L$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第2章 §2.2.1　★★★ $L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$。速度による力は、速度を含む一般化ポテンシャル $U=q\phi-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ から出す

第1部では、粒子の力学で選ぶ Lagrangian を $L=T-V$ とし、ポテンシャル $V$ は位置だけの関数とした（第1部第5章）。位置だけの関数 $V$ の勾配から出る力は速度によらない。ところが磁場の中の荷電粒子に働く力 $q\bm{v}\times\bm{B}$ は速度に比例し、向きも速度で決まる。この章では、このような力を出す Lagrangian として

$$L=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi(\bm{r},t)+q\,\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r},t)$$

を選ぶ。$\phi$ はスカラーポテンシャル、$\bm{A}$ はベクトルポテンシャルで、どちらも外から決めた場として与える。この章では電荷を $q$ と書き、粒子の位置は直交座標 $\bm{r}=(x,y,z)$ か平面の極座標 $(r,\theta)$ で表す。一般化座標の記号 $q_i$ は電荷と紛れるので使わない。

この $L$ に第1部の道具を当てると、次の4つが出てくる。1つ目は運動方程式で、Euler–Lagrange 方程式は Lorentz 力の式 $m\ddot{\bm{r}}=q(\bm{E}+\dot{\bm{r}}\times\bm{B})$ になり、電場と磁場は $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial\bm{A}/\partial t$, $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ という組み合わせで現れる。2つ目は正準運動量で、$\bm{p}=m\dot{\bm{r}}+q\bm{A}$ は $m\dot{\bm{r}}$ と一致しない。Hamiltonian は $H=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi$ になる。3つ目はゲージの自由度で、$\phi$ と $\bm{A}$ を $\bm{E}$ と $\bm{B}$ を変えずに取り替えると $L$ は全微分だけ変わり、運動は同じで正準運動量の値だけが変わる。4つ目は一様な磁場の中の円運動と、電場を加えたときのドリフトで、どちらも Hamiltonian を1次元の調和振動子に帰着させて解くことができる。最後に、Lorentz 力を出発点に置く電磁気学の授業の書き方と、この章の形を並べる。

位置だけのポテンシャルでは足りない理由

$L=T-V(\bm{r},t)$ の Euler–Lagrange 方程式は $m\ddot{\bm{r}}=-\nabla V$ で、右辺は位置と時刻だけで決まる。一方、一様な磁場 $\bm{B}$ の中を速度 $\bm{v}$ で動く電荷 $q$ には、実験で確かめられた力 $q\bm{v}\times\bm{B}$ が働く。この力は同じ場所でも速度を変えると向きと大きさが変わるので、どんな $V(\bm{r},t)$ の勾配としても書くことができない。したがって、$L$ に速度を含む項を入れる必要がある。

一般化ポテンシャル

$L=T-U$ の $U$ が速度を含んでよいとする。運動エネルギー $T$ の部分を左辺に、$U$ の部分を右辺に分けて Euler–Lagrange 方程式を書くと、次の形になる。

$U$ が速度によらなければ第1項が消え、$Q_i=-\partial U/\partial x_i$ という普通の保存力に戻る。$U$ が速度の1次の項を持つと、第1項の時間微分は加速度でなく速度と位置の変化を含むので、速度に比例する力が出てくる。ここでは座標を $x_i$ と書いたが、これは一般化座標の一般論で、電荷を含まない式である。

荷電粒子の $L$

この章で選ぶ Lagrangian は

$$L(\bm{r},\dot{\bm{r}},t)=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi(\bm{r},t)+q\,\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}(\bm{r},t)\tag{2.2.2}$$

で、一般化ポテンシャルは $U=q\phi-q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ である。速度の1次の項 $q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ が、速度による力を出す項になる。次の節で、この $L$ の Euler–Lagrange 方程式が

$$\bm{E}\coloneqq-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\qquad\bm{B}\coloneqq\nabla\times\bm{A}\tag{2.2.3}$$

を電場と磁場とする Lorentz 力の式になることを示す。

$\phi$ と $\bm{A}$ は時刻と位置の与えられた関数で、粒子が動いても変わらないものとする。粒子自身が作る場とその場から粒子が受ける力（放射の反作用）は、この章では入れない（2.2.5節の札）。場そのものも動く変数にする Lagrangian は第2部第6章で選ぶ。

式 (2.2.2) の相互作用の項は、相対論の作用 $-q\int A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu$ を時間で書いたものと一致する。4元ポテンシャル $A^\mu=(\phi/c,\bm{A})$ の下付き成分は $A_\mu=(\phi/c,-\bm{A})$、$\mathrm{d} x^\mu=(c\,\mathrm{d} t,\dot{\bm{r}}\,\mathrm{d} t)$ なので、

$$-q\int A_\mu\,\mathrm{d} x^\mu=-q\int\Bigl(\frac{\phi}{c}\,c-\bm{A}\cdot\dot{\bm{r}}\Bigr)\mathrm{d} t=\int\bigl(-q\phi+q\,\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}\bigr)\,\mathrm{d} t\tag{2.2.4}$$

となる。この形が Lorentz 変換で不変になることから、速度の項の係数と符号は $\phi$ の項と1組で決まる。自由粒子の部分 $\frac12m\dot{\bm{r}}^2$ を $-mc^2\sqrt{1-\dot{\bm{r}}^2/c^2}$ に戻した相対論の形は第2部第3章で扱い、この章では速さが光速より十分小さい場合だけを考える。