この章のまとめ

(1) おもりの位置は $(\ell\sin\theta\cos\varphi,\ \ell\sin\theta\sin\varphi,\ -\ell\cos\theta)$ で、速さの2乗は $\ell^2(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2)$。

$$L=\frac{m\ell^2}{2}\bigl(\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\bigr)+mg\ell\cos\theta .$$

$L$ は $\varphi$ を含まないので $\varphi$ が循環座標で、$p_\varphi=m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$（鉛直軸のまわりの角運動量）が保存する。質量行列は $\mathrm{diag}(m\ell^2,\ m\ell^2\sin^2\theta)$ で、$\theta$ によっている。

(2) $T$ は速度の2次の同次式なので $H=T+V$ で、$p_\theta=m\ell^2\dot\theta$, $\dot\varphi=p_\varphi/(m\ell^2\sin^2\theta)$ から

$$H=\frac{p_\theta^2}{2m\ell^2}+U_{\mathrm{eff}}(\theta),\qquad U_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta}-mg\ell\cos\theta .$$

第1項は $\theta\to0$ で無限大になる遠心力の壁、第2項は重力で、$p_\varphi\neq0$ なら $0<\theta<\pi$ の間に極小が1つある。

(3) $U_{\mathrm{eff}}'(\theta)=-\dfrac{p_\varphi^2\cos\theta}{m\ell^2\sin^3\theta}+mg\ell\sin\theta=0$ から $p_\varphi^2=m^2g\ell^3\sin^4\theta_0/\cos\theta_0$。$\dot\varphi_0=p_\varphi/(m\ell^2\sin^2\theta_0)$ に入れると

$$\dot\varphi_0^2=\frac{g}{\ell\cos\theta_0}.$$

(4) 1自由度の2次の展開で、質量は $m\ell^2$、剛性は $U_{\mathrm{eff}}''(\theta_0)$ である。$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \theta}\Bigl(-\dfrac{\cos\theta}{\sin^3\theta}\Bigr)=\dfrac{\sin^2\theta+3\cos^2\theta}{\sin^4\theta}$ を使い、(3) の $p_\varphi^2$ を入れると

$$U_{\mathrm{eff}}''(\theta_0)=mg\ell\,\frac{\sin^2\theta_0+3\cos^2\theta_0}{\cos\theta_0}+mg\ell\cos\theta_0=mg\ell\,\frac{1+3\cos^2\theta_0}{\cos\theta_0}, \qquad \Omega_\theta^2=\frac{g}{\ell}\cdot\frac{1+3\cos^2\theta_0}{\cos\theta_0}.$$

(5) $\theta$ の1周期 $2\pi/\Omega_\theta$ の間に、$\varphi$ はほぼ $\dot\varphi_0$ の速さで進むので、進む角は

$$\Delta\varphi=2\pi\frac{\dot\varphi_0}{\Omega_\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{1+3\cos^2\theta_0}}$$

である。$\theta_0\to0$ で $\sqrt{1+3}=2$ となり、$\Delta\varphi\to\pi$ になる。$\theta$ が小さいと、おもりの水平面内の位置 $\bm{\rho}$ について$V\approx\frac{mg}{2\ell}\lvert \bm{\rho}\rvert ^2$ で、等方的な2次元調和振動子になる。その軌道は原点を中心とする楕円で、遠い点（$\theta$ の最大）は半周ごと、角度 $\pi$ ごとに来る。Kepler 問題では同じ角が $2\pi$（近点から近点まで1周）で、どちらも軌道が閉じる Bertrand の定理の2つの場合にあたる。$\theta_0$ が有限だと $\Delta\varphi>\pi$ になり、楕円の長軸は1回の揺れごとに公転と同じ向きに回る。球面振り子の軌道は一般に閉じない。

(6) $\theta_0=30^\circ$ では $\dot\varphi_0=\sqrt{9.81/0.866}=3.366\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Omega_\theta=3.366\times\sqrt{1+3\times0.75}=3.366\times1.803=6.068\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Delta\varphi=360^\circ/1.803=199.7^\circ$。$\theta$ の振動の周期は $2\pi/\Omega_\theta=1.036\,\mathrm s$ で、円錐運動から $10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ずらして運動方程式を数値積分すると、周期 $1.0355\,\mathrm s$ と $\Delta\varphi=199.7^\circ$ が得られる（scripts/verify_ch2-01.py）。$\theta_0=3^\circ$ では $\cos\theta_0=0.9986$ で、$\dot\varphi_0=3.134\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Omega_\theta=6.262\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Delta\varphi=180.2^\circ$ となり、ほとんど閉じた楕円である。