この章で選ぶ $L$：4つの系の $T-V$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第1章 §2.1.1　★★★ 4つの系それぞれについて、一般化座標と $L=T-V$ を書き下す。2体は重心と相対座標に、剛体は重心の並進と回転に分ける

第1部では、Lagrangian $L=T-V$ を選ぶ理由（第1部第5章）、Euler–Lagrange 方程式（第1部第4章）、対称性から保存量を取り出す Noether の定理（第1部第10章）、Legendre 変換で作る Hamiltonian と相空間（第1部第7章・第1部第8章）を、主に1粒子の簡単な例で作ってきた。第2部はこの道具を古典の場と相対論へ広げる部である。その前にこの章で、道具を力学の代表的な4つの系に続けて当て、「$L$ を書く → 循環座標と保存量を探す → 1自由度に落とす → 平衡点のまわりで2次まで展開する」という手順を一通り使えるようにする。

選ぶ系は次の4つである。第一に1次元の振動子で、平衡点のまわりのどんな系も2次まで展開すればこの形になるので、手順の行き着く先として最初に置く。外から時刻に依存する力を加えると $L$ が時刻を含み、Hamiltonian が保存しなくなる例にもなる。第二に中心力を及ぼし合う2体で、重心と相対運動に分けると1体の問題になり、回転対称性から角運動量が保存して平面運動になる。Kepler 問題では、回転対称性とは別にもう1つのベクトルの保存量（Runge–Lenz ベクトル）があり、これが軌道の閉じる理由になっている。第三に剛体で、運動エネルギーを重心の並進と重心のまわりの回転に分け、回転の部分を慣性テンソルで書く。重力の中の対称なこまでは Euler 角のうち2つが循環座標になり、残る1自由度の有効ポテンシャルから歳差運動の角速度が決まる。第四に多自由度の小振動で、質量行列と剛性行列を同時に対角化する基準振動を作り、直線形の分子 CO$_2$ の振動数を計算して観測値と比べる。

最後に、Newton の運動方程式から同じ結果を出す授業の書き方（換算質量の引き算・Euler 方程式・連成振動の行列）と、この章の書き方を並べる。

4つの Lagrangian

この章で選ぶ Lagrangian を先に並べる。どれも $L=T-V$ の形で、違うのは一般化座標の選び方と、$T$・$V$ の具体形だけである。

振動子の $F(t)$ は外から加える時刻の関数の力で、$-F(t)x$ を時刻に依存するポテンシャルとして $V$ に含めた。$M$ は全質量、$m_{\mathrm r}$ は換算質量、$I_a$ は主慣性モーメント、$\omega_a$ は剛体に固定した軸の方向の角速度の成分である。小振動の $M_{ij}$ と $K_{ij}$ は質量行列と剛性行列で、2.1.2節で作る。表の2行目と3行目の形は自明でなく、どちらも「重心を原点に選ぶと交差項が消える」という同じ事実から出るので、次の2つの小節で続けて導く。

2体：重心と相対座標

質量 $m_1$, $m_2$ の2粒子が、距離だけによるポテンシャル $V(\lvert \bm{r}_1-\bm{r}_2\rvert )$ で相互作用するとする。新しい一般化座標として

$$\bm{R}=\frac{m_1\bm{r}_1+m_2\bm{r}_2}{M},\qquad \bm{r}=\bm{r}_1-\bm{r}_2,\qquad M=m_1+m_2\tag{2.1.1}$$

を選ぶと、$\bm{r}_1=\bm{R}+\frac{m_2}{M}\bm{r}$, $\bm{r}_2=\bm{R}-\frac{m_1}{M}\bm{r}$ である。運動エネルギーに代入すると $\dot{\bm{R}}\cdot\dot{\bm{r}}$ の交差項の係数は$\frac{m_1m_2}{M}-\frac{m_2m_1}{M}=0$ で消え、

$$L=\frac M2\dot{\bm{R}}^{\,2}+\frac{m_{\mathrm r}}2\dot{\bm{r}}^{\,2}-V(\lvert \bm{r}\rvert ),\qquad m_{\mathrm r}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\tag{2.1.2}$$

となる。1次元のばねで同じ分離をしたのが第1部第5章の総合問題で、3次元でも成分ごとに同じ計算になる。$L$ は $\bm{R}$ を含まないので $\bm{R}$ の3成分はすべて循環座標で、全運動量 $M\dot{\bm{R}}$ が保存する（空間の並進対称性の Noether の保存量）。相対運動は、質量 $m_{\mathrm r}$ の1粒子が固定した中心のまわりで $V(r)$ を受けて動く問題になる。

剛体：重心の並進と回転（Koenig の分解）

剛体を $N$ 個の質点 $m_a$ の集まりとし、各質点の位置を重心 $\bm{R}$ と重心からの位置 $\bm{b}_a$ に分けて $\bm{r}_a=\bm{R}+\bm{b}_a$ と書く。重心の定義から $\sum_am_a\bm{b}_a=0$ である。運動エネルギーは

$$T=\frac12\sum_am_a\bigl(\dot{\bm{R}}+\dot{\bm{b}}_a\bigr)^2=\frac M2\dot{\bm{R}}^{\,2}+\dot{\bm{R}}\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\sum_am_a\bm{b}_a\Bigr)+\frac12\sum_am_a\dot{\bm{b}}_a^{\,2} =\frac M2\dot{\bm{R}}^{\,2}+\frac12\sum_am_a\dot{\bm{b}}_a^{\,2}\tag{2.1.3}$$

と、重心の並進と重心に対する運動の和に分かれる（Koenig の分解）。中央の交差項は $\sum_am_a\bm{b}_a=0$ の時間微分なので消える。この分解は剛体でなくても成り立ち、2体の式 (2.1.2) はその $N=2$ の場合にあたる（$\bm{b}_1=\frac{m_2}{M}\bm{r}$, $\bm{b}_2=-\frac{m_1}{M}\bm{r}$ を入れると $\frac12m_{\mathrm r}\dot{\bm{r}}^{\,2}$ になる）。

剛体では、重心に対する各点の運動は全体の回転だけである。ある瞬間の角速度ベクトルを $\bm{\omega}$ とすると $\dot{\bm{b}}_a=\bm{\omega}\times\bm{b}_a$ と書け、$\lvert \bm{\omega}\times\bm{b}\rvert ^2=\lvert \bm{\omega}\rvert ^2\lvert \bm{b}\rvert ^2-(\bm{\omega}\cdot\bm{b})^2$ を使うと

$$\frac12\sum_am_a\dot{\bm{b}}_a^{\,2}=\frac12\sum_{i,j=1}^3I_{ij}\,\omega_i\omega_j,\qquad I_{ij}=\sum_am_a\bigl(\lvert \bm{b}_a\rvert ^2\delta_{ij}-b_{a,i}b_{a,j}\bigr)\tag{2.1.4}$$

となる。$I_{ij}$ を重心のまわりの慣性テンソルと呼ぶ。$I_{ij}$ は実対称行列なので直交行列で対角化でき、対角化する座標軸を慣性主軸、対角成分 $I_1$, $I_2$, $I_3$ を主慣性モーメントと呼ぶ。剛体に固定した主軸の方向の角速度の成分を $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ とすれば、回転の運動エネルギーは$\frac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2)$ である。$\omega_a$ を一般化座標の時間微分で書く式は2.1.4節で作る。

剛体の1点が固定されているときは、重心の代わりにその固定点を原点に選んでもよい。固定点が動かないので、$\bm{r}_a=\bm{b}_a$ と書いて同じ計算をすれば並進の項がない $T=\frac12\sum I_{ij}\omega_i\omega_j$ になり、慣性テンソルは固定点のまわりで計算したものになる。