接線の傾きと切片で関数を書き直す

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第7章 §1.7.1　★★★ 凸関数は接線の集まりで決まり、接線1本は傾きと切片で決まる。傾きをただ代入すると情報が落ちる

Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ から Hamiltonian $H(q,p,t)$ を作る式 $H=p\dot q-L$ と、内部エネルギー $U(S,V)$ から Helmholtz の自由エネルギー $F(T,V)$ を作る式 $F=U-TS$ は、どちらも「ある変数を、その変数についての傾きに取り替える」操作で、同じ数学の手続きである。この手続きを Legendre 変換と呼ぶ。学部の授業ではこの2つの式が別々の分野で天下り的に与えられることが多く、「なぜ $L$ に $\dot q=p/m$ を代入するだけではいけないのか」「なぜ引き算の項 $p\dot q$ や $TS$ が要るのか」が分からないまま残りやすい。

この章で作る道具は Legendre 変換1つである。先に図を見せる。下に凸な関数のグラフは、各点での接線の集まりで決まり、接線1本は「傾き」と「縦軸との交点（切片）」の2つの数で決まる。したがって、関数を「傾きを入れると切片を返す関数」として書き直しても、もとの関数の情報は1つも落ちない。これが Legendre 変換で、傾きを横軸の値の代わりに使う関数の書き直しである。1.7.1節でこの絵と「傾きをただ代入すると情報が落ちる」ことを示し、1.7.2節で最大値を使う定義と、導関数が逆関数どうしになる性質を出す。1.7.3節では2回変換すると元に戻ること、凸でない関数では戻らないことを確かめる。そのあと、1.7.4節で $L$ の速度 $\dot q$ を運動量 $p$ に、1.7.5節で $U$ のエントロピー $S$ を温度 $T$ に取り替え、両方を同じ図に載せる。1.7.6節で授業での書き方と並べる。

Hamilton 方程式と相空間の見方は次の章（第1部第8章）で、熱力学ポテンシャル全体の組み立ては第3部第4章 で扱う。この章では変換そのものの意味を固めることに専念する。

関数を傾きで呼び直したい理由

解析力学では、運動を速度 $\dot q$ で書く代わりに運動量 $p=\partial L/\partial\dot q$ で書きたくなる。熱力学では、エントロピー $S$ は直接測れないが、温度 $T=\partial U/\partial S$ は温度計で測って一定に保てるので、$S$ の代わりに $T$ を変数にしたくなる。どちらも、ある関数 $f(x)$ について、変数 $x$ をその点での傾き $p=f'(x)$ に取り替えたい、という同じ要求である。この節では1変数の関数 $f(x)$ で考え、$q$・$t$ や $V$ のような取り替えない変数は1.7.4節で足す。

傾きを変数にするために、まず最も素朴なやり方を試す。$p=f'(x)$ を $x$ について解いて $x=x(p)$ とし、それを $f$ に代入した

$$g(p)\coloneqq f\bigl(x(p)\bigr)\tag{1.7.1}$$

を「傾きで書いた $f$」とする方法である。これはうまくいかない。たとえば $f(x)=\frac12x^2$ では $p=x$ なので $g(p)=\frac12p^2$ になる。ところが、横に $c$ だけずらした $f_c(x)=\frac12(x-c)^2$ では $p=x-c$ なので、やはり $g(p)=\frac12p^2$ になる。異なる関数 $f$ と $f_c$ から同じ $g$ が得られるので、$g$ から $f$ を取り戻すことはできない。

情報が落ちる理由は一般的に述べることができる。$g$ が分かっているとき、$f$ は微分方程式 $f(x)=g\bigl(f'(x)\bigr)$ を満たす。この方程式は $x$ を含まないので、解 $f(x)$ を横にずらした $f(x-c)$ もまた解になる。つまり $g$ は「グラフの形」は覚えているが「グラフが横のどこにあるか」を覚えておらず、その分の情報が失われている。

接線の切片を記録する

失われた位置の情報を残すには、傾き $p$ の接線がどこを通るかも記録すればよい。点 $x_0$ でのグラフの接線は

$$y=f(x_0)+p\,(x-x_0),\qquad p=f'(x_0)$$

で、縦軸（$x=0$）との交点、つまり切片は $f(x_0)-px_0$ である（図 1.7.1 の左）。傾き $p$ を与えるとこの接線が1本決まり、切片が1つの数として決まる。そこで、切片に負号を付けた

$$f^*(p)\coloneqq px_0-f(x_0),\qquad p=f'(x_0)\tag{1.7.2}$$

を傾き $p$ の関数とみなす。これが Legendre 変換の最初の形で、$f^*(p)$ は「傾き $p$ の接線の切片の $-1$ 倍」である。負号を付けておく理由は、1.7.2節で $f^*$ がまた下に凸になり、同じ操作をもう一度当てられる形にそろうためである。

先の2つの関数で確かめる。$f(x)=\frac12x^2$ では $x_0=p$ なので $f^*(p)=p^2-\frac12p^2=\frac12p^2$ である。$f_c(x)=\frac12(x-c)^2$ では $x_0=p+c$ なので $f_c^*(p)=p(p+c)-\frac12p^2=\frac12p^2+cp$ となり、$c$ が残る。切片を記録したので、横のずれが $f^*$ の $cp$ の項として残った。

接線の集まりからグラフを描き直す

切片を記録すると情報が落ちないことは、図でも確かめることができる。傾き $p$ を少しずつ変えながら、$y=px-f^*(p)$ という直線を次々に引くと、直線の群れが包む線（包絡線）としてもとのグラフ $y=f(x)$ が浮かび上がる（図 1.7.2）。下に凸な関数のグラフは、どの接線よりも上にあり、それぞれの接線にちょうど1点で触れるからである。傾きと切片の組 $\bigl(p,\,-f^*(p)\bigr)$ がすべて分かれば、直線をすべて引けて、グラフがその上の端として決まる。1.7.3節でこの描き直しを式にし、$f^*$ にもう一度同じ変換を当てると $f$ に戻ることを示す。