授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第7章 §1.7.6　★★ 授業の「全微分を取って $\mathrm{d}(p\dot q)$ を引く」書き方は Legendre 変換と同じ。代入だけで $H$ を作る誤りの正体を見る

全微分で書く導出

学部の解析力学の授業では、Hamiltonian を次のように導入することが多い。$L(q,\dot q,t)$ の全微分を

$$\mathrm{d} L=\frac{\partial L}{\partial q}\mathrm{d} q+p\,\mathrm{d}\dot q+\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d} t$$

と書き、$\mathrm{d}(p\dot q)=p\,\mathrm{d}\dot q+\dot q\,\mathrm{d} p$ を使って $\mathrm{d}\dot q$ の項を消すと

$$\mathrm{d}(p\dot q-L)=\dot q\,\mathrm{d} p-\frac{\partial L}{\partial q}\mathrm{d} q-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d} t\tag{1.7.15}$$

となる。右辺に $\mathrm{d}\dot q$ が無いので、$H=p\dot q-L$ は自然に $(q,p,t)$ の関数で、$\partial H/\partial p=\dot q$、$\partial H/\partial q=-\partial L/\partial q$ と読むことができる。熱力学の授業でも、$\mathrm{d} U=T\,\mathrm{d} S-P\,\mathrm{d} V$ から $\mathrm{d}(U-TS)=-S\,\mathrm{d} T-P\,\mathrm{d} V$ と書いて $F=U-TS$ を導入する。

この全微分の計算は、規則 (1.7.10) の証明で「括弧が $0$ になる」ことを、微分の形で一度に書いたものである。$p\,\mathrm{d}\dot q$ と $-\mathrm{d} L$ の中の $p\,\mathrm{d}\dot q$ が打ち消すのは、$p$ が $L$ の $\dot q$ についての傾きだから、つまり接点で計算しているからである。授業の書き方で抜けやすいのは2点で、1つは「$p\dot q-L$ を $(q,p,t)$ の関数と読むには $p=\partial L/\partial\dot q$ を $\dot q$ について解ける必要がある」こと（$\partial^2L/\partial\dot q^2\neq0$、1.7.4節の notebox）、もう1つは「$H$ から $L$ に戻せる」ことである。後者は $L$ が $\dot q$ について凸なら定理 1.7.3 で保証され、$L=p\dot q-H$ と $\dot q=\partial H/\partial p$ で $L$ が完全に戻る。

対応表

代入だけで $H$ を作る誤り

「$H$ はエネルギーだから、エネルギーの式 $\frac12m\dot q^2+V(q)$ に $\dot q=p/m$ を入れればよい」という作り方は、$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ のときだけ偶然正しい答えを出す。第1部第5章で定めた $h(q,\dot q)=\sum_j\dot q_j\,\partial L/\partial\dot q_j-L$ は、$L=T-V$ で $T$ が速度の2次式なら $T+V$ に等しく、式 (1.7.9) の右辺を $\dot q$ のまま書いたものなので、値としては $H$ と等しい。しかし$H$ は値だけでなく「どの変数の関数か」まで含めて決まる量で、変数 $p$ を $\dot q$ から正しく作らないと、偏微分 $\partial H/\partial p$ が $\dot q$ にならない。これは1.7.1節の素朴な代入 (1.7.1) と同じ種類の誤りで、次の例題で具体的に確かめる。