解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第7章 §1.7.3 ★★ 凸な関数は f∗∗=f。凸でない関数では凸包に置き換わり、f∗ に折れ目ができる
もう一度変換する
f∗ は傾き p の関数なので、もう一度 Legendre 変換を当てることができる。
f∗∗(x)=psup[xp−f∗(p)].(1.7.7)
右辺の xp−f∗(p) は、傾き p、切片 −f∗(p) の直線 y=px−f∗(p) の、点 x での高さである。したがって f∗∗(x) は「x の真上で、すべての直線のうち最も高いものの高さ」で、図 1.7.2 の包絡線そのものである。1.7.1節で図から読んだ「接線の群れからグラフが浮かび上がる」ことを式に書いたのが式 (1.7.7) である。
図 1.7.2 傾き p の直線 y=px−f∗(p) を8本引いた（破線）。直線の群れの上の端（包絡線）が f∗∗ で、下に凸な f（実線）ではそれが f に一致する。直線はどれも f のグラフより下にある（Young の不等式 (1.7.6)）
定理 1.7.3（2回で元に戻る）
区間 I 上で f′′>0 なら、f′ の値域の上で計算した f∗ に式 (1.7.7) を当てると、I の上で f∗∗=f となる。
証明
定理 1.7.2 により f∗ も狭義に下に凸で、(f∗)′(p)=x(p) である。f∗ に式 (1.7.4) を当てると、xp−f∗(p) の最大点は (f∗)′(p)=x、すなわち x(p)=x、つまり p=f′(x) である。そこで
f∗∗(x)=xf′(x)−f∗(f′(x))=xf′(x)−[f′(x)x−f(x)]=f(x).
2行目の角括弧は式 (1.7.4) で p=f′(x)、x(p)=x としたものである。
この定理が、Legendre 変換で情報が落ちないことの式による確認である。f∗ だけを持っていれば、もう一度同じ操作をするだけで f が完全に戻る。1.7.1節の素朴な代入 (1.7.1) にはこの性質が無い。
より一般に、f が凸で、グラフが途切れない（下半連続）なら、微分できなくても f∗∗=f が成り立つ。これを Fenchel–Moreau の定理と呼ぶ。証明は凸集合の分離定理を使うので、ここでは結果だけを使う。
凸でない関数
定義 (1.7.3) の右辺は、p について見ると1次関数 px−f(x) を x ごとに並べたものの上限である。1次関数の上限は、どんな f についても下に凸になる。したがって f∗ は f が凸でなくても常に凸で、f∗∗ も常に凸である。f 自身が凸でなければ、f∗∗ は f に戻りえない。
戻らずに何になるかは、図の見方から分かる。f∗∗(x) は「f のグラフより下にある直線のうち、点 x で最も高いもの」の高さなので、グラフの下側の凹みには直線が入り込むことができない。結果として f∗∗ は、f 以下の凸関数のうち最大のもの（凸包）になる。凹んだ部分には共通接線がかかり、その区間では f∗∗ は直線になる（図 1.7.3）。
凸でない f の f∗ は、別の形で異常が出る。凹みの両側に、同じ傾き p の接線を2点で持つ共通接線が引けるとき、傾き p を少し変えただけで最大点が一方から他方へ跳ぶ。(f∗)′(p) は最大点の位置なので、そこで値が跳び、f∗ のグラフに折れ目ができる。熱力学では、自由エネルギーのこの折れ目と共通接線が、液体と気体の共存（Maxwell の作図）や1次相転移として現れる。その物理は第3部第4章と第3部第10章で扱う。
図 1.7.3 凸でない関数 f(x)=(x2−1)2 の Legendre 変換。左：f（実線）と f∗∗。f∗∗ は ∣x∣≥1 で f と一致し、−1<x<1 では共通接線 y=0（点線）に置き換わる。右：f∗(p) の数値（verify_ch1-07.py で計算）。p=0 で最大点が x=−1 から x=+1 へ跳ぶので、左右の傾き (f∗)′(0±)=±1 が食い違い、折れ目ができる（破線は傾き ±1 の直線）
例題 1.7.3 2つの谷を持つ関数の f∗ と f∗∗ ★★
オリジナルf(x)=(x2−1)2（x∈R）について次に答えよ。
- (1) f∗(0) を求め、上限をとる x をすべて挙げよ。
- (2) p が小さい正の数のとき、px−f(x) の最大点を x=1+u とおいて u を p の1次まで求め、f∗(p)≈p を示せ。p<0 ではどうなるか。
- (3) f∗∗(0) を求め、f(0) と比べよ。
解答
(1) f∗(0)=supx[−f(x)]=−minxf(x)=0。f=0 となるのは x=±1 の2点で、上限はこの2点の両方でとられる。
(2) 最大点では p=f′(x)=4x(x2−1)。x=1+u を入れると 4(1+u)(2u+u2)=8u+O(u2) なので u≈p/8。そこでの値は px−f(x)=p(1+u)−(2u+u2)2=p+pu−4u2+O(u3)=p+8p2−16p2+O(p3) なので f∗(p)=p+16p2+O(p3)、1次までで f∗(p)≈p。p<0 では左の谷 x≈−1+p/8 が最大点になり、同じ計算で f∗(p)≈−p=∣p∣。したがって f∗ は p=0 で傾きが −1 から +1 へ跳ぶ。跳びの幅 2 は、最大点が x=−1 から x=+1 へ動いた距離に等しい（(f∗)′(p) は最大点の位置）。数値でも、p=±0.25 で f∗=0.2538 となり、∣p∣+p2/16=0.2539 と合う。
(3) 式 (1.7.7) で x=0 とおくと f∗∗(0)=supp[−f∗(p)]=−infpf∗(p)。Young の不等式 (1.7.6) に x=1 を入れると f∗(p)≥p−f(1)=p、x=−1 を入れると f∗(p)≥−p なので、f∗(p)≥∣p∣≥0。f∗(0)=0 なので infpf∗=0、よって f∗∗(0)=0。一方 f(0)=1 なので f∗∗(0)<f(0) で、2回変換しても元に戻らない。0 は2つの谷の間の山で、f∗∗ はそこを共通接線 y=0 で埋めた凸包になっている。
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