$L$ から $H$ へ：速度を運動量に取り替える

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第7章 §1.7.4　★★★ $H(q,p,t)=\sup_{\dot q}[p\dot q-L]$。$q$ と $t$ は取り替えない変数で、偏微分は符号を変えて引き継がれる

取り替える変数と取り替えない変数

Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ は3種類の変数を持つが、取り替えたいのは速度 $\dot q$ だけである。$q$ と $t$ を止めると、$L$ は $\dot q$ の1変数関数になる。それに1.7.2節の Legendre 変換を当てる。$\dot q$ についての傾きを

$$p\coloneqq\frac{\partial L}{\partial \dot q}(q,\dot q,t)\tag{1.7.8}$$

と書き、正準運動量と呼ぶ。$q$ と $t$ を止めた上での Legendre 変換が

$$H(q,p,t)\coloneqq\sup_{\dot q}\bigl[p\dot q-L(q,\dot q,t)\bigr]=p\,\dot q(q,p,t)-L\bigl(q,\dot q(q,p,t),t\bigr)\tag{1.7.9}$$

で、これを Hamiltonian と呼ぶ。2つ目の等号は、$L$ が $\dot q$ について狭義に下に凸（$\partial^2L/\partial\dot q^2>0$）で、式 (1.7.8) を $\dot q$ について解けるときの形である。変換の間じゅう $q$ と $t$ は止めた数として運ばれるだけなので、これらを取り替えない変数と呼ぶことにする。

最も基本的な $L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ では、$\partial^2L/\partial\dot q^2=m>0$、$p=m\dot q$、$\dot q=p/m$ なので

$$H=p\cdot\frac pm-\Bigl[\frac12m\Bigl(\frac pm\Bigr)^2-V(q)\Bigr]=\frac{p^2}{2m}+V(q)$$

となる。$V(q)$ は $\dot q$ を含まないので、Legendre 変換の中では定数として扱われ、符号を変えて $H$ に移る。1.7.1節の言葉で言えば、$-V(q)$ は $L$ のグラフを上下にずらすだけで、切片が $V(q)$ だけ変わる。

取り替えない変数の偏微分

証明

1つ目は定理 1.7.2 の $(f^*)'(p)=x(p)$ そのものである。2つ目は、$H=p\,\dot q(q,p,t)-L(q,\dot q(q,p,t),t)$ を $p,t$ を止めて $q$ で微分すると

$$\frac{\partial H}{\partial q}=p\,\frac{\partial \dot q}{\partial q}-\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\partial L}{\partial \dot q}\frac{\partial \dot q}{\partial q}=\Bigl(p-\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr)\frac{\partial \dot q}{\partial q}-\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}$$

で、括弧は式 (1.7.8) で $0$ になる。3つ目も同じ計算である。

括弧が消える理由は、定理 1.7.2 の証明と同じで、$\dot q(q,p,t)$ が $p\dot q-L$ の最大点だからである。$q$ を動かすと最大点 $\dot q$ も動くが、最大点での1次の変化は $0$ なので、$H$ の変化は $L$ の中に $q$ が直接入っている分だけで決まる。この規則は、Legendre 変換で取り替えない変数の偏微分が、符号を変えてそのまま引き継がれることを言っている。

規則 (1.7.10) と Euler–Lagrange 方程式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}$（第1部第4章）を組み合わせると、左辺は $\dot p$、右辺は $-\partial H/\partial q$ なので

$$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}\tag{1.7.11}$$

を得る。1つ目は Legendre 変換の性質から、2つ目は運動方程式から出る。これが Hamilton 方程式で、2階の微分方程式1本を、$q$ と $p$ についての1階の微分方程式2本に書き直したものである。$(q,p)$ を座標とする平面（相空間）での意味は第1部第8章で扱う。

多自由度と正則性の条件

自由度が $f$ のときは、$q=(q_1,\dots,q_f)$ を止めて $\dot q=(\dot q_1,\dots,\dot q_f)$ の $f$ 変数関数として Legendre 変換する。

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i},\qquad H(q,p,t)=\sup_{\dot q}\Bigl[\sum_{i=1}^fp_i\dot q_i-L\Bigr].\tag{1.7.12}$$

1変数での条件 $\partial^2L/\partial\dot q^2>0$ にあたるのは、行列 $W_{ij}=\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ が正定値であることである。このとき $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ は $\dot q$ について解け、定理 1.7.2 と規則 (1.7.10) は添字を付けた形でそのまま成り立つ。たとえば平面の極座標で $L=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)-V(r)$ なら $W=\mathrm{diag}(m,mr^2)$ で、$r>0$ で正定値である。$p_r=m\dot r$、$p_\varphi=mr^2\dot\varphi$ を解いて代入すると

$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\varphi^2}{2mr^2}+V(r)$$

となる。$p_\varphi$ は角運動量で、$p_\varphi=mr^2\dot\varphi$ を $mr\dot\varphi$（速度の大きさ）と取り違えないよう、正準運動量は必ず式 (1.7.12) で定義から計算する。